v 1. Модифицированное уравнение имеет вид

+ = - v) + (1 - v).... +

(4.27)

Отметим, что эта схема не всегда удовлетворяет условию согласованности, так как отношение {Ax)/At может не стремиться к нулю при At, Ах, стремящихся к нулю. Однако если при стремлении А/ и Ал: к нулю число Куранта v сохраняется постоянным, то условие согласованности выполняется. Схема Лакса отличается высоким уровнем диссипации при v#= 1. В этом можно убедиться, сравнив коэффициент при члене Uxx в уравнении (4.27)

Рис. 4.4. Схема Лакса. (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность определения фазы.

И в модифицированном уравнении (4.10) для схемы с разностями против потока при разных v. На высокий уровень диссипации указывают и значения коэффициента перехода

G = cos р - /V sin р, (4.28)

который был вычислен в п. 3.6.1. Модуль коэффициента перехода показан на рис. 4.4(a). Относительная погрешность в определении фазы выражается в виде

Ф arctg (- у tg р) Фе - ру •

при этом происходит опережение по фазе, что видно из рис. 4.4(b).

4.1.4, Неявный метод Эйлера

До сих пор мы рассматривали только явные методы. Рассмотрим неявную разностную схему

+ TIT - "/"-"О = 0. (4.29)

Это схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0(А (Ал:)2). Анализ устойчивости Неймана (анализ Фурье) показывает, что она устойчива при любом шаге по времени, т. е. абсолютно устойчива. Однако при использовании этой схемы на каждом шаге по времени приходится решать систему алгебраических уравнений. Чтобы проиллюстрировать это, перепишем уравнение (4.29) так, что члены, содержащие значения

п + 1$;

j о 1 2 Рис. 4.5. Расчетная сетка.

М М + 1

неизвестных на (д -f 1)-м шаге по времени, будут в левой части, а известное значение и-- в правой части уравнения. В результате получим

Y itl + (1) Г - Т11 = (4.30)

+ Г + К-1 = » (4.31)

где a = v/2, d= 1, 6 = -v/2, C = uJ. Пусть расчет проводится на изображенной на рис. 4.5 сетке, состоящей из M-f 2 узлов по X, Начальные условия заданы при п = 0. На левой границе величина задана и равна wo, а значение WJj на правой границе можно вычислить в процессе решения методом характеристик. Например, если v= 1, то ti = til- На заданной сетке разностная схема (4.31) сводится к решению системы М линейных алгебраических уравнений на (az-j- 1)-м шаге по времени:

dt at

Ьм-\ dji ам\ О Ьм dj

(4.32)

В системе уравнений (4.32) коэффициенты Ci и См определяются соотношениями

п -fjti пиП+1 (4.33)

где и и известны из граничных условий.

В уравнении {4.32) матрица [А] трехдиагональная. Томас [Thomas, 1949] предложил метод быстрого решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей, который обычно называют прогонкой. При применении этого алгоритма система уравнений сначала приводится к системе уравнений с верхней треугольной матрицей заменой диагональных элементов di элементами

/ = 2, 3, М, и коэффициентов Ci коэффициентами

Ct-C, u i = 2, 3, М.

После этого вычисление неизвестных начинается от значения и на границе и"] =Cjd и продолжается по рекуррентной формуле

anx-iii у М-1, М-2, 1.

Более подробно метод прогонки будет описан в п. 4.3.3.

При использовании неявных схем на каждом шаге по времени приходится проводить больше вычислений, чем при использовании явных схем, но зато можно проводить расчет с существенно большим шагом по времени, так как они безусловно устойчивы. Однако при использовании слишком большого шага по времени можно пблучить бессмысленные результаты. Это связано с тем, что при увеличении шага по времени растет погрешность аппроксимации. Модифицированное уравнение для неявного метода Эйлера имеет вид

щ + си, = (У,с М)- [%с {Axf + 7з (т «... + ... (4.34)

и, следовательно, не удовлетворяет условию сдвига. Коэффициент перехода

.ГГ."Л (4.35)