Промышленный лизинг
Методички
4.1.10. Центрированная по времени неявная схема Для построения неявной разностной схемы второго порядка точности вычтем два ряда Тейлора »г-«?+д<ы;+-ы,"+-*1(".„):+ и заменим (иц) на («)Г=Ы+А("ш);+.... В результате получим uni = и- + [{и,у + {u.fl + о {(Atf). (4.58) Такое выражение для производной по времени называют конечно-разностной аппроксимацией производной по Кранку - Николсону. В случае линейного волнового уравнения щ = -cux имеем «г = «/ - [кг + КГ"], + о {{Atf). (4.59) Подставляя вместо членов с производной Ux центрально-разностную аппроксимацию второго порядка точности, получаем = и» - (и«+/ + и», - ujil - «; .). (4.60) Это схема второго порядка точности с погрешностью аппроксимации 0((Да:)2, (Д/)2). Она безусловно устойчива при любых шагах по времени, однако на каждом новом временном шаге приходится решать линейную систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Модифицированное уравнение для рассматриваемой разностной схемы имеет вид Щ + cu:c=- [ + ]txxx - 120 24 80 ixxxxx-r . . . . i.lj Отметим, что в модифицированное уравнение не входят производные четного порядка, т. е. неявная искусственная вязкость равна нулю. Когда такая схема применяется для решения нелинейных уравнений движения, для предотвращения нелинейной неустойчивости часто необходимо вводить в нее некоторую явную искусственную вязкость, т. е. «сглаживающий» член. Под- Цливсех V Рис. 4.10. Центрированная по времени неявная схема, (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность в определении фазы. ству, если для конечно-разностной аппроксимации производной Ux использовать соотношение (3.31): Модифицированное уравнение и погрешность в определении фазы для получающейся в этом случае схемы можно найти в работе [Beam, Warming, 1976]. 4.1.11. Метод Русанова (Бёрстейна - Мирина) До сих пор мы рассматривали лишь методы первого или второго порядка точности. В литературе опубликовано только несколько методов третьего порядка точности. В. В. Русанов [1968] и Бёрстейн и Мирин [Burstein, Mirin, 1970] одновременно создали следующий явный трехшаговый метод: Шаг 1 Шаг 2 робно этот вопрос будет рассмотрен в п. 4.4.7. Модуль коэффициента перехода l + (/v/2)sinp -" и относительная погрешность в определении фазы показаны на рис. 4.10. Для центрированной по времени неявной разностной схемы можно достичь четвертого порядка аппроксимации по простран- Шаг 3 «Г = «/ - i (-2«?+2 + 7«?+, - 7и« , + 2uf ,) -- V - «f> О - («2 - 4и?+, + - 4«5f ,-f (4.64) Ha шаге 3 в уравнение добавлен член, пропорциональный разностному оператору четвертого порядка: умноженному на некоторый параметр со. Этот член вводится в уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Необходимость добавления этого члена очевидна из условия устойчивости рассматриваемой разностной схемы: v<l, 4v2-v<cu<3. (4.65) Если разностный оператор четвертого порядка в уравнение не введен (т. е. со равно нулю), то при О < v 1 не удается удовлетворить условию устойчивости (4.65). Модифицированное уравнение для схемы Русанова имеет вид + = - (-f- - 4v + v3) + + (-5(0 + 4 + 15v2 - 4v*)и,,,,, + .... (4.66) Для снижения диссипативных свойств схемы можно приравнять нулю коэффициент при четвертой производной, полагая (o = 4v2-v (4.67) Аналогично можно уменьшить дисперсионные свойства разностной схемы, приравняв нулю коэффициент при пятой производной, т. е. (4v+l)(4-v) (4 g8) Коэффициент перехода для метода Русанова имеет вид 0= 1 --y-sin2p--sin*--/vsinp[l +-(1 -v2)sin2i- . (4.69) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 |