Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

4.1.10. Центрированная по времени неявная схема

Для построения неявной разностной схемы второго порядка точности вычтем два ряда Тейлора

»г-«?+д<ы;+-ы,"+-*1(".„):+

и заменим (иц) на

(«)Г=Ы+А("ш);+....

В результате получим

uni = и- + [{и,у + {u.fl + о {(Atf). (4.58)

Такое выражение для производной по времени называют конечно-разностной аппроксимацией производной по Кранку - Николсону. В случае линейного волнового уравнения щ = -cux имеем

«г = «/ - [кг + КГ"], + о {{Atf). (4.59)

Подставляя вместо членов с производной Ux центрально-разностную аппроксимацию второго порядка точности, получаем

= и» - (и«+/ + и», - ujil - «; .). (4.60)

Это схема второго порядка точности с погрешностью аппроксимации 0((Да:)2, (Д/)2). Она безусловно устойчива при любых шагах по времени, однако на каждом новом временном шаге приходится решать линейную систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Модифицированное уравнение для рассматриваемой разностной схемы имеет вид

Щ + cu:c=- [ + ]txxx -

120 24 80 ixxxxx-r . . . . i.lj

Отметим, что в модифицированное уравнение не входят производные четного порядка, т. е. неявная искусственная вязкость равна нулю. Когда такая схема применяется для решения нелинейных уравнений движения, для предотвращения нелинейной неустойчивости часто необходимо вводить в нее некоторую явную искусственную вязкость, т. е. «сглаживающий» член. Под-



Цливсех V



Рис. 4.10. Центрированная по времени неявная схема, (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность в определении фазы.

ству, если для конечно-разностной аппроксимации производной Ux использовать соотношение (3.31):

Модифицированное уравнение и погрешность в определении фазы для получающейся в этом случае схемы можно найти в работе [Beam, Warming, 1976].

4.1.11. Метод Русанова (Бёрстейна - Мирина)

До сих пор мы рассматривали лишь методы первого или второго порядка точности. В литературе опубликовано только несколько методов третьего порядка точности. В. В. Русанов [1968] и Бёрстейн и Мирин [Burstein, Mirin, 1970] одновременно создали следующий явный трехшаговый метод:

Шаг 1

Шаг 2

робно этот вопрос будет рассмотрен в п. 4.4.7. Модуль коэффициента перехода

l + (/v/2)sinp -"

и относительная погрешность в определении фазы показаны на рис. 4.10.

Для центрированной по времени неявной разностной схемы можно достичь четвертого порядка аппроксимации по простран-



Шаг 3

«Г = «/ - i (-2«?+2 + 7«?+, - 7и« , + 2uf ,) -- V - «f> О - («2 - 4и?+, + - 4«5f ,-f (4.64)

Ha шаге 3 в уравнение добавлен член, пропорциональный разностному оператору четвертого порядка:

умноженному на некоторый параметр со. Этот член вводится в уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Необходимость добавления этого члена очевидна из условия устойчивости рассматриваемой разностной схемы:

v<l, 4v2-v<cu<3. (4.65)

Если разностный оператор четвертого порядка в уравнение не введен (т. е. со равно нулю), то при О < v 1 не удается удовлетворить условию устойчивости (4.65). Модифицированное уравнение для схемы Русанова имеет вид

+ = - (-f- - 4v + v3) +

+ (-5(0 + 4 + 15v2 - 4v*)и,,,,, + .... (4.66)

Для снижения диссипативных свойств схемы можно приравнять нулю коэффициент при четвертой производной, полагая

(o = 4v2-v (4.67)

Аналогично можно уменьшить дисперсионные свойства разностной схемы, приравняв нулю коэффициент при пятой производной, т. е.

(4v+l)(4-v) (4 g8)

Коэффициент перехода для метода Русанова имеет вид

0= 1 --y-sin2p--sin*--/vsinp[l +-(1 -v2)sin2i- .

(4.69)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124