Глава 2

Уравнения в частных производных

§ 2.1. Введение

Многие физические проблемы.сводятся к решению уравнений в частных производных, поэтому необходимо знать физические особенности решений этих уравнений. Для решения конкретных задач необходимо уметь определять тип дифференциального уравнения в частных производных и знать его основные математические особенности. В этой главе рассмотрены математические и физические свойства уравнений с частными производными, встречающихся в газовой динамике и теплопередаче, на ряде примеров показаны наиболее важные особенности их решений. В конце главы приведены сведения, относящиеся к системам уравнений в частных производных. Выписан также ряд модельных уравнений, которые в гл. 4 используются для анализа свойств конечно-разностных схем.

§ 2.2. Физическая классификация уравнений 2.2.1. Стационарные задачи

Задача называется стационарнойу если решение уравнения в частных производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области (рис. 2.1). Физически стационарная задача описывает установившийся процесс, а математически сводится к решению задачи с граничными условиями (краевой задачи) для уравнения в частных производных. К стационарным задачам относится определение стационарного поля температур, расчет течения несжимаемой невязкой жидкости, нахождение упругих напряжений в твердом теле.

Иногда стационарные задачи называют детерминированными, так как решение в любой внутренней точке области D определяется условиями, заданными на ее границе В, т. е. граничные условия полиостью определяют поведение решения в D, Установившиеся процессы описываются уравнениями в частных производных эллиптического типа.

Пример 2.1. Стационарное поле температуры в проводящей среде с постоянным коэффициентом теплопроводности удовлет-

воряет уравнению Лапласа. Рассмотрим типичную задачу расчета двумерного поля температур в твердом теле, температура на границах которого поддерживается постоянной. Эта задача сводится к решению уравнения

="& + - = 0 0<JC<1, 0</<1, (2.1)

с граничными условиями

Г(0, у) = 0, Г(1,у) = 0, Г(д;, 0) = Го, Г(л;, 1) = 0.

Расчетная область и граничные условия показаны на рис. 2.2.

Рис. 2.1. Область для решения стационарнойзадачи. В области D решение должно удовлетворять уравнениям в частных производных; на границе В области D решение должно удовлетворять граничным условиям.

Решение. Для решения линейных уравнений в частных производных часто применяют метод разделения переменных

[Greenspan,, 1961]. Для того чтобы воспользоваться им, предположим, что искомая температура является произведением двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от у:

I.............

X

Г(х, y) = X{x)Y{y),

Т=Тп

Подставив это выражение для температуры в уравнение Лапласа, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения. Выпишем их вместе с однородными граничными условиями

Рис. 2.2. Единичный квадрат с заданной температурой границ.

(0) = 0, Х(1) = 0,

Г aY = О,

Y{1) = 0.

(2.2)

Штрихом здесь обозначено дифференцирование. Появление в уравнениях коэффициента о? связано с проведенным разделением переменных. Значение этого коэффициента необходимо определить в процессе решения задачи. Выпишем решения уравнений (2.2):

Х(х) = А sin (п%х\ Y{y) = C sh \пп{у - 1)]. Граничные условия учитываются следующим образом:

1. Г(0, f/)=O->Z(0) = 0, Г(л:, 1) = 0->У(1) = 0.

Эти условия определяют тип функций, входящих в выражение для температуры Г (л:, у). Например, граничное условие 7(0, у) = = 0 выполняется в том случае, когда решение уравнения для функции Х(х) удовлетворяет условию Х(0) = 0. Поэтому, хотя общее решение дифференциального уравнения содержит как синусы, так и косинусы, граничное условие позволяет исключить члены, содержащие косинус. Аналогичную роль для второго обыкновенного дифференциального уравнения firpaeT граничное условие Г(а:, 1) = 0, приводящее к условию У(1) = 0.

2. Г(1,г/) = 0Х(1) = 0.

Это условие позволяет определить собственные значения, т. е. такие значения коэффициента а, при которых существует нетривиальное (отличное от тождественного нуля) решение обыкновенного дифференциального уравнения с однородными граничными условиями. Так как решение первого из уравнений (2.2) имеет вид

Х(х) = А sin (ал:),

то нетривиальное решение Х{х), удовлетворяющее условию Х(1) = 0, существует лишь при а = Агя, где ai= 1, 2, ... .

3. Г(х,0)=Го.

Заданное значение температуры на оси х позволяет определить, в какой комбинации собственные функции входят в решение. Запишем решение рассматриваемой задачи в виде

Т {х, у)=Ъ к sin (пях) sh [пя {у - 1)], (2.3)

Т. е. как сумму собственных функций, удовлетворяющих заданному уравнению и трем граничным условиям. В общем случае решение записывается в виде суммы ряда, членами которого являются произведения синусов и косинусов на гиперболические синусы и косинусы. Для рассматриваемой задачи четвертое гра-