ведено сравнение коэффициента перехода (4.77) с его точным значением при двух различных г. Точное значение коэффициента перехода (затухания) определялось путем подстановки фундаментального решения

-akt ik X U = е т Q т

В соотношение

u(t + М)

Отсюда

и it)

Ge = e , Ge = e-rfi\ где = kAx.

(4.78) (4.79)

Следовательно, амплитуда точного решения уравнения теплопроводности уменьшается на каждом шаге по времени в е-* раз (если не учитывать влияние граничных условий).

\\ача1\ът% данных Рис. 4.13. Зона зависимости для простой явной схемы.

Из рис. 4.12 видно, что простой явный метод решения уравнения теплопроводности при г = 1/2 характеризуется сильной диссипацией при больших значениях параметра р. Как и следовало ожидать, при г =1/6 наблюдается гораздо лучшее совпадение коэффициента перехода с его точным значением.

При использовании простого явного метода уравнение теплопроводности решается последовательным продвижением (маршем) от линии, на которой заданы начальные данные, т. е. так же, как решались явными методами гиперболические уравнения. Этот процесс проиллюстрирован на рис, 4.13. Из рисунка

ВИДНО, что решение в точке Р не зависит от граничных условий, заданных на линиях АВ и CD, Однако решение уравнения теплопроводности в точке Р должно зависеть от граничных условий на линиях АВ и CD, так как характеристики параболического уравнения теплопроводности имеют вид t = const. Следовательно, простая явная схема (с конечным неправильно моделирует физические особенности уравнений в частных производных параболического типа. Представляется, что для решения уравнений в частных производных параболического типа лучше использовать неявные методы, так как они учитывают всю информацию, известную на характеристике / = const и под ней. С другой стороны явные схемы лучше использовать для решения гиперболических уравнений, так как у них размер зоны зависимости ограничен.

Пример 4.2. Применим простой явный метод для решения уравнения теплопроводности (а = 0.05) с начальным условием

м(jc, 0) = sin (2ял:), 0<а:<1,

и периодическими граничными условиями. Определим погрешность в определении амплитуды после десяти шагов по времени при А/= 0.1, Ах = 0.1.

Решение, Единственное значение р удается определить в рассматриваемой задаче на основе тех же соображений, которые приведены в примере 4.1. Это значение параметра (3 равно

Р = /j Ал: = (2я) (0.1) = 0.2я.

Вычисляя / по формуле

аД (0.05) (0.1) " = Та=" (0.1) =-»

находим коэффициент перехода для простого явного метода:

G = 1 4- 2г (cos Р - 1) = 0.809017.

Точное значение коэффициента перехода равно

Gg = -P = 0.820869,

поэтому погрешность в определении амплитуды равна

ЛI - G I = (1) (0.1389 - 0.1201) = 0.0188.

В соответствии с (4.72) точное решение уравнения теплопроводности после выполнения десяти шагов по времени [t = 1.0) имеет вид

и{х, 1) = sin {2пх) = 0.1389 sin (2яа:). Его можно сравнить с "численным решением, имеюпдим вид и{х, 1) = 0.1201 sm(2nx).

Рассматриваемая разностная схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ал:) 2) и абсолютно устойчива. Как следует из уравнения (4.82), на (ai+ 1)-м шаге по времени следует решать систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей.

Модифицированное уравнение для рассматриваемой схемы имеет вид

щ - аы,, = [I а2 At + + {Atf + -{aAt {Axf +

+ а(АА:)] .... (4.83)

Коэффициент перехода

G = [1 + 2г (1 - cosР)]~ (4.84)

приведен на рис. 4.14 при г= 1/2 и сравнивается с его точным значением.

1 я /л.49 . 1

4.2.2. Метод Ричардсона

Ричардсон [Richardson, 1910] предложил явную одношаговую трехслойную схему решения уравнения теплопроводности

"/ ""/ / + 1-2/+/-!

Это схема второго порядка точности с погрешностью аппроксимации О ((А/) 2, (Аа:)). к сожалению, метод Ричардсона абсолютно неустойчив и, следовате.ьно, для решения уравнения теплопроводности непригоден. Он приведен в книге просто как пример из истории численных методов решения уравнений в частных производных.

4.2.3. Простой неявный метод

Простой неявный метод предложен Лаасоненом [Laasonen, 1949]. Соответствующая разностная схема записывается в виде

,,П+1 п /1 + 1 п,Л + 1 i + 1

"/-И -2Ц; .

-Tt--«--• (4-)

Используя центральный разностный оператор уравнение (4.81) можно переписать более компактно: