4.2.4. Метод Кранка - Николсона

Кранк и Николсон [Crank, Nicolson, 1947] предложили для решения уравнения теплопроводности неявную схему

~ 2(Ajc)«

(4.85)

Это широко известная абсолютно устойчивая схема, которую обычно называют схемой Кранка - Николсона. Благодаря тому

1.00-

0.50 -

0.00 -

-0.50 -

-1.00

0.00

Рис. 4.14. Коэффициент перехода для нескольких численных схем, г = 1/2; - о- простая неявная схема; -А- схема Кранка - Николсона; - □ - схема Дюфорта - Франкела; -точное решение.

ЧТО правая часть уравнения аппроксимируется полусу1лмой значений производных на двух последовательных шагах по времени, схема имеет второй порядок точности с погрешностью аппроксимации 0((АО, (А-)). Как и в предыдущем случае, на {п+ 1)-м слое по времени приходится решать систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. При применении метода Кранка - Николсона модифицированное уравнение имеет вид

Коэффициент перехода

1 ~г(1 - cos Р)

1-f r(l-cos Р) при г = 1/2 построен на рис. 4.14.

хххххх Н~ • • • .

(4.86) (4.87)

Tt- - «--

где 6 = const(06 1). При 0=0 получаем простой явный метод, при 6 = 1 - простой неявный метод, а при 0 = 1/2 - метод Кранка - Николсона. Этот комбинированный метод имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(А {АхУ)у за исключением трех частных случаев:

(a) 6=1/2. Схема Кранка - Николсона, погрешность аппроксимации 0((АО (Ах) 2).

(b) б = у--\2a\t погрешность аппроксимации О((АО

(А)).

(c) 6 = Y--\2alt - = л/20, погрешность аппроксимации О ((АО 2, {АхУ)

Погрешности аппроксимации в этих частных случаях определяются из модифицированного уравнения

щ - (Ш,, = [(е -1) а2 А/ + + [(e - e+i) аЗ (АОЧ

+ (е - у) а2 А [Axf + 3 а (Ах)] и,,,,,, + .... (4.89)

Предложенный комбинированный метод абсолютно устойчив при 1/26 1. Однако, если О 0 < 1/2, этот метод устойчив лишь при

О<г<1/(2-40). (4.90)

4.2.в. Комбинированный метод iB

Рихтмайер и Мортон [Richtmyer, Morton, 1967] предложили общую трехслойную неявную схему решения уравнения теплопроводности

При произвольном 0 эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ах) 2), за исключением частных случаев:

(а) 0=1/2, погрешность аппроксимации 0( (АО, (Д-))-

4.2.5. Комбинированный метод А

Простой явный метод, простой неявный метод и метод Кранка •- Николсона являются частными случаями более общего метода

«п+1 - „л еб«у+» + (1 - 8) bluj

Г» а(Ад;)2-а»-М11«,,,,+

12 """"- " (Лх)» + а (А;с) - (АО + 2а« -ML] + .... (4.95)

Коэффициент перехода

G = 2г cos р ± Vl ~ г* sin* р щ

(Ь) 6 = Y+ i2ait погрешность аппроксимации 0{{Af)2, (Ал:)), причем погрешности аппроксимации определяются из модифицированного уравнения

щ - аи,, = [~ (е - -1) «2А + -1- а (Аа:)] и,,,, + .... (4.92)

4.2.7. Метод Дюфорта - Франкела

Абсолютно неустойчивый метод Ричардсона (4.80) можно сделать устойчивым, заменив на среднее по времени значение + «]f~*)/2. В результате получим явную трехслойную схему

"I "/+-"/ +"/-1 /4934

впервые предложенную Дюфортом и Франкелом [DuFort, Frankel, 1953]. Переписав уравнение (4.93) в виде

u-Hl+2r) = u-- + 2r{u-,un- + u- ,), где г = -,

(4.94)

обнаружим, что в него входит лишь одна неизвестная величина и\ и, следовательно, схема явная. Схема Дюфорта - Франкела имеет погрешность аппроксимации 0{(Af)2, (Ах)2, {Af/Ax)2). Поэтому если она удовлетворяет условию согласованности, то {At/Ax) должно стремиться к нулю при At и Ах, стремящихся к нулю. В гл. 3 было показано, что если отношение At/Ax стремится не к нулю, а к некоторой константе у, то схема Дюфорта - Франкела согласована с гиперболическим уравнением

ди , о д*и д*и

Если при стремлении At и Ах к нулю г остается постоянным, то величина (At/Ax) формально имеет порядок О (At). Тогда модифицированное уравнение имеет вид