,,«+1

Г 1 +. 1

L (xf (Д(/)« J 2

Т. е. при (Ах)2=(Ду)2 схема устойчива, только если г 1/4. Это условие накладывает в два раза более жесткое ограничение на соотношение шагов по времени и пространству по сравнению с одномерным случаем (условием 1/2) и, следовательно, делает применение явного метода на практике еще менее целесообразным.

Применяя для решения двумерного уравнения теплопроводности метод Кранка - Николсона, получаем разностную схему

""•7"" 4 (1 + Ь\) KV + к ,) (4.99)

Для сокращения записи здесь введены двумерные центрально-разностные операторы Ь\ и Щ, определяемые соотношениями

"Л,/--(Kief (xf

При г=\/2 изображен на рис. 4.14. Схема Дюфорта - Франкела обладает необычным для явных схем свойством - безусловной устойчивостью.

4.2.8. Методы решения двумерного уравнения теплопроводности

Двумерное (2-D) уравнение теплопроводности имеет вид ди ( ди . ди \ /.

Так как это уравнение отличается от одномерного (1-D) уравнения теплопроводности, то необходимо аккуратно проанализировать возможность применения для его решения методов, описанных в предыдущих разделах. Приведем два примера, иллюстрирующих возникающие при этом проблемы. Если для решения двумерного уравнения теплопроводности применим простой явный метод, то получим следующую разностную схему:

<-fi./-K/ + ?-i./ , </+1-2</ + </-1

(4.98)

где X = iAx, у = /Ду. Как показано в гл. 3, условие устойчивости этой схемы имеет вид

6 /{ (

1 1 1

V /

1=1 2 3 4 5 6 Рис. 4.15. Двумерная расчетная сетка; w = = const на границе.

ных разностных схем. Чтобы подробнее изучить получающуюся систему уравнеЦий, перепишем уравнение (4.99) в виде

+ f + cuti + bultl / + auVni = dl /, (4.101)

2 (Ах)

Используя схему (4.101) для решения уравнения на двумерной сетке 6X6, показанной на рис. 4.15, получим, что на каждом

Как и в одномерном случае, схема Кранка - Николсона абсолютно устойчива, если применяется для решения уравнения с периодическими граничными условиями. К сожалению, получающаяся в результате система линейных алгебраических уравнений не является больше трехдиагональной, так как в разностные уравнения входят пять неизвестных wy, tilljy i-li> и+и То же самое верно и для всех описанных ранее неяв-

{п+1)М шаге по времени необходимо решить систему 16 линейных алгебраических уравнений

с b о о а о о

b с b а

О b с b а

О b с О а

а О с h а

О а b с h а

а h с b а

а b с О а

а О с b а

а b с b а

а b с b а О

а b с О а

а О с b О а b с b О

а b с b

О О а О О b с

,(4.102)

Для решения системы уравнений, аналогичной (4.102), требуется существенно больше машинного времени, чем для решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей. Обычно такие системы уравнений решают итерационными методами, которые мы рассмотрим в § 4.3.

4.2.9. Неявные методы переменных направлений

Описанные в предыдущем разделе трудности, возникающие при применении обычных методов к решению двумерного уравнения теплопроводности с условно устойчивым алгоритмом, привели к созданию неявных методов переменных направлений, которые предложены в работах [Peaceman, Rachford, 1955; Douglas, 1955]. Применяя обычный неявный метод переменных направлений, получим двухшаговую разностную схему: