Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Шаг 2

---= а (бл:;. / + 6yUi, /j.

„n+l „п+1/2

(4.103)

В результате проведенного «расщепления» задача сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. На шаге 1 такая система решается для каж-


n+l/z

Рис. 4.16. Схема расчета неявным методом переменных направлений. Стрелками указаны направления, по которым схема неявна.

дой строки (ряда точек с фиксированным /), а на шаге 2 -для каждого столбца (ряда точек с фиксированным i). Схематически рассматриваемая процедура решения уравнения теплопроводности показана на рис. 4.16. Неявный метод переменных направлений обладает вторым порядком точности с погрешностью аппроксимации 0((Л)2, (Ax)2, (At/)). Проанализировав выражение для коэффициента перехода

[1 -Гх{\- cos х)] [1 - гу (1 - cos Ру)] 1\+Гх(\- cos Р;,)] [1 + (1 - cos р)]

находим, что этот метод безусловно устойчив. Здесь необходимо отметить, что получающаяся при наиболее очевидном обобще-

Шаг 1



нии этого метода на трехмерный случай разностная схема (трех-шаговая схема, использующая значения величин на шагах по времени л, л + 1/3, л + 2/3, л+1) оказывается лишь условно устойчивой и имеет погрешность аппроксимации О (At, (Ал:) 2, (Ау)\ (А2)2). Для того чтобы обойти это, Дуглас и Ганн [Douglas, Gunn, 1964] предложили общий метод построения неявных схем переменных направлений, имеющих второй порядок точности и безусловно устойчивых. Применяя этот метод, можно обобщить схему Кранка - Николсона на случай трехмерного уравнения теплопроводности. В результате получим следующую трехшаговую схему: Шаг 1

Шаг 2

= + ) + 62 + иГ) + г,б2 (4.104)

Шаг 3

Здесь верхние индексы * и ** обозначают промежуточные значения, а индексы /, /, k опущены во всех членах уравнений.

4.2.10. Методы дробных шагов, или методы расщепления

Неявные методы переменных направлений тесно связаны, а иногда и совпадают с методами ращепления, или, как их еще иногда называют, методами дробных шагов, которые были созданы советскими математиками примерно в то же время, когда в США были разработаны неявные методы переменных направлений. Основная идея этих методов состоит в расщеплении конечно-разностного оператора на ряд одномерных операторов. Например, к простой неявной схеме решения двумерного уравнения теплопроводности можно применить метод расщепления следующим образом:

Шаг 1

,,п+1/2 ,,п

--== аЬхШ, / .

Шаг 2 (4.105)

,,п+1 „л+1/2

--д-= аЬуЩ, / .



Шаг 2

На шаге 1 разностные уравнения решаются маршевым методом от левой границы к правой. При таком марше величина и:1 всегда известна, поэтому неизвестная определяется «явно». Аналогично на шаге 2 уравнения решаются маршевым методом от правой границы к левой, и схема снова является «явной», так как значение а+2 уже известно. При этом предполагается, что значения функции и на границе области известны. Хотя рассматриваемая схема является трехслойной по времени, для хранения в памяти ЭВМ величины и достаточно одного массива, благодаря тому что при расчете значение и в каждом узле сетки используется лишь один раз. Явная схема переменных направлений безусловно устойчива и имеет погрешность аппроксимации 0{(Af)2, (Ал:), (А/Аа:)2). Из-за наличия в погрешности аппроксимации члена [At/Axy эта разностная схема формально имеет первый порядок точности.

Другой вариант явного метода переменных направлений предложен Баракатом и Кларком [Barakat, Clark, 1966]. Маршевым методом одновременно решаются уравнения в обоих направлениях, а полученные решения pj*+ и 9у+ осредняются для на-

Эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ax) 2, (At/) 2). Подробно метод дробных шагов описан в монографии Н. Н. Яненко [1967].

4.2.11. Явные методы переменных направлений

Для решения двумерного уравнения теплопроводности можно также воспользоваться явным методом переменных направлений. В отличие от неявного метода переменных направлений он не требует обращения трехдиагональных матриц. Так как явный метод переменных направлений можно использовать для решения одномерного уравнения теплопроводности, для простоты ограничимся применением явного метода переменных направлений к этому уравнению.

Впервые явный метод переменных направлений был предложен В. К. Саульевым [1957]. Применяя этот метод, получим двухшаговую разностную схему:

Шаг 1

-Ш-= «-(Щ-*-• (4.106)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124