хождения и+:

пП+\ П ,1+1 п* J .i

М ~ (Дд:)2

Этот метод абсолютно устойчив, а его погрешность аппроксимации близка к О ((АО 2, (Ах) 2), так как при одновременном расчете маршевым методом члены, содержащие (At/Ax), имеют тенденцию к взаимному сокращению. Известны результаты, показывающие, что для двумерного уравнения теплопроводности этот метод в 18/16 раза быстрее неявного метода переменных направлений.

Ларкин [Larkin, 1964] предложил слегка измененный вариант этого алгоритма, состоящий фактически в замене, где это возможно, р и q на и:

«л 11 Л. 11

Pf -"Z Pj-lPf

+1 1

(4.108)

Численные эксперименты показали, что эта схема обычно уступает в точности схеме Бараката и Кларка.

4.2.12. Блочный метод Келлера и модифицированный блочный метод

Блочный метод Келлера [Keller, 1970] широко применяется для решения двумерных параболических уравнений в частных производных, например двумерного уравнения теплопроводности или уравнений пограничного слоя. Оба метода - и метод Келлера, и модифицированный блочный метод - будут рассмотрены в п. 7.3.5 для решения уравнения теплопроводности.

4.2.13. Метод «классики*

Последним из методов решения двумерного уравнения теплопроводности рассмотрим метод «классики» (hopscotch). Это явный абсолютно устойчивый метод. Схема расчета иллюстри-

(4.109)

При втором проходе величина uf вычисляется в оставшихся

узлах сетки (в тех узлах сетки, где {i + / + л) - нечетное число)

по простой неявной схеме

-д-= O.[0xUi,f +

+ бХУ). (4.110)

Второй проход кажется неявным, но решать систему алгебраических уравнений не надо, так как величины

u-uf, "Г/-1

известны из первого прохода, т. е. рассматриваемая схема явная. Погрешность аппроксимации метода «классики» равна О (А/, (Ajc)2, (At/) 2).

4.2.14. Дополнительные замечания

3 4

Рис. 4.17. Схема расчета «классики». Крестики для нечетных (i + j + п); кружки для четных (1 + j + п).

Выбор наилучшего метода решения уравнения теплопроводности является нелегким делом из-за того, что существует большое разнообразие приемлемых методов. Обычно неявные методы больше подходят для их решения, чем явные методы. Для решения одномерного уравнения теплопроводности мы рекомендуем схему Кранка - Николсона, так как она обеспечивает второй порядок точности по времени и пространству. Для двух- и трехмерного уравнений теплопроводности превосходные результаты получаются при использовании как неявного метода переменных направлений Дугласа и Ганна, так и блочного метода Келлера или модифицированного блочного метода.

руется на рис. 4.17 и состоит из двух последовательных проходов всей расчетной области. При первом проходе величина вычисляется в тех узлах сетки, где (/ + / + п) - четное число, по простой явной схеме

§ 4.3. Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа является модельным уравнением для эллиптических уравнений в частных производных. В декартовой системе координат двумерное уравнение Лапласа имеет вид

Некоторые важные задачи, часто встречающиеся в приложениях, сводятся к решению одного эллиптического уравнения в частных производных. К ним относятся задачи расчета дозвукового безвихревого (потенциального) течения газа и определения стационарного поля температуры в твердом теле.

Уравнения Навье -Стокса для несжимаемой жидкости - пример более сложной системы уравнений, имеющей эллиптический характер. Стационарные уравнения Навье -Стокса эллиптические, но их эллиптичность проявляется довольно сложным образом, так как эллиптический характер уравнения определяется и производными скорости, и производными давления. Нестационарные уравнения Навье - Стокса являются уравнениями смешанного эллиптически-параболического типа. Смешанный характер уравнений Навье-Стокса лучше всего подтверждается тем, что при численном решении этих уравнений они преобразуются к системе уравнений, из которых хотя бы одно параболическое, а одно - эллиптическое уравнение Пуассона вида

+ 0 = f(.,</). (4.112)

Итак, уравнения в частных производных эллиптического типа встречаются в задачах гидродинамики и теплообмена довольно часто, поэтому мы внимательно рассмотрим различные методы решения нашего модельного эллиптического уравнения.

4.3.1. Конечно-разностные аналоги уравнения Лапласа

Методы решения уравнения Лапласа, да и вообще большинства эллиптических уравнений различаются не столько методом построения конечно-разностного аналога (хотя и эти методы отличаются), сколько методом решения получающейся системы алгебраических уравнений.

Пятиточечная схема. Наиболее часто для построения конечно-разностного аналога уравнения Лапласа используется пятиточечная схема, предложенная Рунге в 1908 г.:

-(Д1Р-+--= 0 (4.113)