(Ал;)2 + «,,,,(Ду)2]+....

с погрешностью аппроксимации 0((Ал:), {Аг/)). Модифицированное уравнение имеет вид

Девятиточечная схема. Эта схема представляется наиболее логичной, если мы хотим решить уравнение Лапласа по схеме

высокого порядка точности. Пусть Ал: = А, At/ = k, тогда разностная схема имеет вид

-2-2+(.41,/+

-20t/;,y = 0. (4.114)

Погрешность аппроксимации этой схемы имеет порядок 0{h,k), однако на квадратной сетке этот порядок повышается до О(А). Найти погрешность аппроксимации и получить модифицированное уравнение мы предложим читателям в задачах к этой главе. Девятиточечная схема кажется довольно привлекательной для уравнения Лапласа из-за подходящей ошибки аппроксимации, но для уравнений более общего вида (в том числе и для уравнения Пуассона), содержащих другие члены, она имеет погрешность аппроксимации лишь 0{h\k).

Рис. 4.18. Шаблоны, используемые для расчета по двум пятиточечным схемам при = Аг/. (а) Пятиточечная схема; (Ь) диагональная пятиточечная схема.

Другие разностные схемы для уравнения Лапласа. Так как

оператор Лапласа инвариантен относительно поворота системы координат, то не удивительно, что на квадратной сетке (Ал: =

= /\y = h) вместо четырех точек шаблона схемы (4.113) можно использовать точки, в которые они переходят при повороте на 45° относительно узла (/,/) и одновременном увеличении шага сетки до д/2 А. В результате получается диагональная пятиточечная схема решения уравнения Лапласа:

/+1, /+1 + Щ+и /-1 + i-U /-1 + iU /+1I = О- (4-115)

На рис. 4.18 показано расположение узлов разностной сетки, используемых при аппроксимации оператора Лапласа по двум пятиточечным разностным схемам. Погрешность аппроксимации диагональной пятиточечной разностной схемы составляет 0{h) (см. задачу 3.10).

В литературе приводятся и другие разностные схемы решения уравнения Лапласа (см., например, [Thom, Apelt, 1961]), но ни одна из них не обладает сколь-нибудь заметными преимуществами перед приведенными пяти- и девятиточечной схемами. Для повышения порядка аппроксимации приходится увеличивать число точек в шаблоне, поэтому при использовании таких схем трудно обеспечить высокий порядок точности вблизи границ.

4.3.2. Простой пример применения разностной схемы для решения уравнения Лапласа

Рассмотрим задачу нахождения функции и, удовлетворяющей уравнению Лапласа дЧ/дх + дЧ/ду =0 в квадрате 0 а:1, о у и если на границе заданы условия Дирихле.

Решение поставленной задачи можно найти в виде суммы ряда (используя метод разделения переменных), коэффициенты которого подбираются так, чтобы удовлетворить заданным условиям для и на границе. Такое решение приведено в большинстве книг, посвященных теплопередаче (см., например, [Chapman, 1974]), и может быть использовано для проверки конечно-разностных схем. Есть и другой способ проверки разностной схемы. Возьмем какую-нибудь простую функцию, являющуюся решением уравнения Лапласа в квадратной области, например функцию и = х - (/2, и используем ее для задания граничных условий при конечно-разностном решении этого уравнения. Тогда результаты расчета можно сравнить с функцией и = х - у. В этом примере мы используем пятиточечную схему (4.113), положив Дл: = А(/ = 0.1, т. е. построим равномерную сетку 11X11 в квадратной области (рис. 4.19). При Ах = Ау разностные уравнения имеют вид

Mi+i, / + / + Ч /+1 + Ч /-1 - / = О (4.116)

ВО всех узлах сетки, в которых величина и неизвестна, т. е. для рассматриваемой задачи с граничными условиями Дирихле в 81 узле. В каждом из этих узлов должно удовлетворяться разностное уравнение, поэтому одновременно надо решить 81 линейное алгебраическое уравнение с 81 неизвестным М/,/. Математически такую систему уравнений можно записать в виде

auUi + ai2U2+........iA = i,

0211+0222+........a2nUn = C2,

(4.117)

или более компактно: [Л]и = С, где [А] - известная матрица коэффициентов, и - вектор-столбец, элементы которого надо оп-

(0,1)

(0,0)

(1,1)

1,0)

Рис. 4.19. Конечно-разностная сетка для решения уравнения Лапласа.

ределить, а С -известный вектор-столбец. Стоит заметить, что матрица коэффициентов разреженная, так как 76 из 81 величины а в каждой строке равны нулю. Для того чтобы получить наиболее простую систему алгебраических уравнений, положим Ах = Ау. Если АхфАуу то выражения для коэффициентов уравнения становятся немного более сложными, но система алгебраических уравнений остается линейной и также может быть записана в виде [Л]11 = С.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на прямые и итерационные. Прямыми называются методы, позволяющие за конечное число заранее опре-