охарактеризуем некоторые из этих методов, не описывая ни один из них подробно.

Одним из простейших прямых методов является метод расчета распространения вектора ошибки, разработанный для решения уравнения Пуассона Роучем [Roache, 1972]. Размерность этого метода ограниченна, но так как метод прямой, то в тех тестовых задачах, когда удалось проконтролировать рост погрешности округления, он оказался в 10-100 раз быстрее лучших итерационных методов, которые будут описаны ниже.

Для решения уравнения Пуассона разработано два быстрых прямых метода, имеющих неограниченную размерность. Это - двойная циклическая редукция Бунемана [Buneman, 1969] и быстрое преобразование Фурье Хокни [Носкпеу, 1965; 1970]. Интересные вычисления проведены Лугтом и Орингом [Lugt, Ohring, 1974] при решении двумерных уравнений Навье - Стокса. Они заметили, что методы Бунемана и Хокни оказываются в 10-20 раз быстрее лучших итерационных методов. Полезное обсуждение возможности применения быстрого преобразования Фурье для решения уравнений в частных производных проведено в работах [LeBail, 1972] и [Buzbee et al., 1970]. Применению быстрых прямых методов к решению задач аэродинамики посвящены работы [Martin, Lomax, 1975] и [Schumann, 1980].

Очевидно, быстрые прямые методы имеет смысл применять для решения задач лишь в тех случаях, когда определяющим является время расчета. Заметим еще раз, что реализующие эти методы алгоритмы сложны и предназначены для расчета простых геометрических конфигураций при задании простых граничных условий. Время создания программы решения конкретной задачи быстрым прямым методом велико, поэтому необходимо тщательно взвесить, окупится ли это впоследствии сокращением времени расчета. Для большинства встречающихся в приложениях уравнений эллиптического типа лучше всего использовать описанные ниже итерационные методы.

4.3.4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Рассматриваемые в этом разделе методы некоторые называют релаксационными, хотя другие авторы предпочитают сохранять слово «релаксация» для обозначения метода релаксации невязки, предложенного Саусвеллом много лет назад. Итерационные методы можно разбить на две группы - точечные (или явные) итерационные методы и блочные (или неявные) итерационные методы. При использовании явных методов один и тот же простой алгоритм последовательно применяется для опреде-

ления неизвестных в каждой точке, тогда как при использовании неявных методов решение для какой-то группы точек определяется в рамках общей итерационной процедуры методом исключения (или каким-либо другим прямым методом).

Метод Гаусса - Зайделя. Хотя за последние годы предложено множество различных итерационных методов, метод Гаусса - Зайделя является одним из наиболее эффективных и часто используемых явных итерационных методов решения больших систем уравнений. (Иногда его называют методом Либмана, если он применяется для решения разностных уравнений, получающихся при конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных эллиптического типа.) Метод чрезвычайно прост, но сходится лишь в тех случаях, когда матрица коэффициентов уравнения удовлетворяет специальному условию «диагонального преобладания». К счастью, большинство разностных схем, используемых для решения стационарных задач, приводит к решению систем алгебраических уравнений, удовлетворяющих этому условию. Метод позволяет явным образом учесть разреженность матрицы коэффициентов.

Приведем сначала пример, показывающий простоту рассматриваемого метода, а потом уже сформулируем достаточные условия его сходимости. В тех случаях, когда этот метод можно использовать, решение системы уравнений определяется следующим образом:

1. Задается начальное приближение (при этом, как будет видно из приведенного ниже примера, значение одной из неизвестных можно не задавать).

2. Из каждого уравнения определяют неизвестную, коэффициент перед которой имеет наибольшую абсолютную величину, при этом используются заданные начальные значения и уже вычисленные значения других неизвестных.

3. Процесс решения уравнений повторяется итерационно до тех пор, пока значения неизвестных на двух последовательных итерациях не будут отличаться на достаточно малую величину, при этом надо не забывать подставлять в правую часть каждого уравнения уже вычисленное значение неизвестной.

В качестве примера рассмотрим систему уравнений

Ах - 2 + -3 = 4,

-х + 2х2 + 5х = 2.

Сначала приведем ее к виду

1 = 74(4 + 2-3), 2 = 7б(9"-а:1-2;з),

и зададим начальное приближение для Х2 и xz (начальное приближение для х\ задавать не надо). После этого в ходе описанного выше итерационного процесса будем последовательно вычислять XI, хг, Хз.

Достаточное условие сходимости метода Гаусса - Зайделя.

Для упрощения записи перепишем систему уравнений так, чтобы по возможности максимальный по абсолютной величине коэффициент в каждой строке был расположен на главной диагонали. Тогда если система уравнений несводима (т. е. не может быть преобразована так, чтобы часть неизвестных определялась из решения системы с меньшим чем п числом уравнений) и если

\au\>t\atf\ (4.120)

для всех i и, кроме того, хотя бы для одного /

\aii\>t\aijl (4.121)

то метод Гаусса--Зайделя сходится. Это достаточное условие сходимости, т. е. в ряде случаев метод может сходиться и тогда, когда указанные выше условия* не выполнены. Можно установить и необходимое условие, но пользоваться ими на практике не имеет смысла. Можно предложить и словесную формулировку достаточного условия сходимости метода Гаусса - Зайделя: метод сходится, если в каждом уравнении абсолютная величина коэффициента, расположенного на главной диагонали, больше или равна сумме абсолютных значений остальных коэффициентов уравнения и хотя бы в одном уравнении выполняется строгое условие больше (при решении физических задач обычно в уравнении, записанном для точки, расположенной вблизи границы).

Воспользуемся теперь приведенными выше условиями сходимости итерационного процесса для анализа системы уравнений (4.113), которая была раньше получена при дискретизации уравнения Лапласа. Прежде всего заметим, что наибольшим по абсолютной величине является коэффициент при неизвестной Ui, f. Так как уравнение (4.113) записывается в каждой точке.