ничное условие, заданное на нижней границе области, имеет вид Т{ХуО)=То, Используя это выражение для определения коэффициентов An в соотношении (2.3), получим (см. задачу 2.1)

пл sh (пп)

Найденное решение Т{х,у) уравнения описывает распределение температуры в твердом теле. Очевидно, что значение температуры в любой внутренней, точке области зависит от условий, заданных на всей границе этой области. Такая зависимость решения от граничных условий характерна для всех стационарных задач математической физики.

Пример 2.2. Безвихревое течение несжимаемой невязкой жидкости описывается уравнением Лапласа. Найдем поле скорости, возникающее при обтекании изображенного на рис. 2.3 цилиндра

Рис. 2.3. Схема двумерного обтекания цилиндра.

ПОТОКОМ несжимаемой невязкой жидкости. Введем потенциал скорости , т. е. такую функцию , что = V, где V - вектор скорости. Тогда течение несжимаемой невязкой жидкости описывается уравнением = 0. На поверхности цилиндра задается граничное условие .

V-VF = 0, (2.4)

где F (г, 0) = О -уравнение, описывающее поверхность цилиндра. При удалении от цилиндра скорость должна стремиться к скорости набегающего потока, т. е. при х, у-оо

V = V«,. (2.5)

Решение. Будем искать решение поставленной задачи в виде суммы двух простых частных решений уравнения Лапласа. Сумма двух решений будет также решением уравнения вследствие линейности уравнения Лапласа, для которого любая линейная комбинация его решений является решением этого уравнения

[Churchill, 1941]. В случае обтекания кругового цилиндра потенциал искомого решения является суммой потенциалов однородного потока и диполя [Karamcheti, 1966]:

ф = ух + 4Ух + (2.6)

х + у

Первое слагаемое описывает однородный поток, а второе -диполь интенсивности 2я/(.

2.2.2. Маршевые задачи

Маршевой или эволюционной (или задачей распространения) называется задача, в которой требуется найти решение уравнения в частных производных в незамкнутой области при заданных граничных и начальных условиях. Расчетная область и маршевое направление (в этом направлении область не замкнута)

t или у

Рис. 2.4. Область для решения маршевой (эволюционной) задачи. В области D решение должно удовлетворять уравнениям в частных производных; на границе В решение должно удовлетворять граничным условиям; на поверхности В задаются начальные данные.

показаны на рис. 2.4. Математически задачи такого типа являются задачами с начальными условиями или задачами с начальными и граничными условиями. Решение таких задач должно быть найдено последовательным движением в маршевом направлении наружу от поверхности, на которой заданы начальные условия, при этом необходимо удовлетворить также граничным условиям. Такие задачи описываются уравнениями в частных производных гиперболического или параболического типа.

Пример 2.3. Определить нестационарное поле температуры в одномерном твердом теле (рис. 2.5) с коэффициентом тепло-

проводности а, если начальная температура тела равна нулю, а в последующие моменты времени температура левой границы остается равной нулю, а температура правой границы поддерживается равной Го-

Решение. Процесс распространения тепла в одномерном случае описывается уравнением теплопроводности

дТ дЧ = а-

в рассматриваемом случае решение должно удовлетворять граничным условиям

Г(0, /) = 0, Г(1,/) = Го (2.8)

и начальному условию

Т(х, 0) = 0. (2.9)

07=0

27 = 1

Рис. 2.5. Схема задания граничных условий для одномерного уравнения теплопроводности.

Проще всего получить решение поставленной задачи, введя новую искомую переменную

и - Т- Tqx. Тогда для функции и получается однородное уравнение

ди дЧ = «

С однородными граничными условиями

«(О, 0 = 0, «(1, 0 = 0 и начальным распределением

и{х, 0) = ~ГоЛ:.

Теперь мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Будем искать решение уравнения в виде u{x,t) = = V{t)X{x). Обозначим возникающую при разделении переменных константу через -и сведем решение поставленной задачи к решению обыкновенных дифференциальных уравнений

1/ + ар21/ = 0, Г + р2А: = 0, X(0) = Z(1) = 0.

В результате получим, что удовлетворяющее начальному распределению для функции и решение уравнения в частных производных имеет вид