Проводится релаксация по столбцам. Так завершается одна итерация, а верхняя релаксация проводится во всех узлах сетки по формуле (4.122) в качестве второго шага перед второй итерацией. Верхняя релаксация может быть и сразу включена в алгоритм расчета, если итерации по строкам проводить в соответствии с формулами

иуп = (1 со) + + ui!) +

a no столбцам - в соответствии с формулами

Ускорение сходимости итераций при использовании блочных итерационных методов по сравнению с точечно-итерационными методами связано, по-видимому, с более сильным влиянием граничных условий на каждой итерации. Например, при последовательной верхней релаксации по строкам значения неизвестных определяются сразу во всей строке, поэтому на каждой итерации граничные условия могут влиять на значения сразу всех неизвестных в строке. Совсем иная картина наблюдается при решении разностных уравнений, получаемых при применении точечно-итерационной схемы, методом Гаусса - Зайделя, так как существует хотя бы одна граничная точка (какая именно, зависит от выбранной последовательности прохождения точек), которая на первой итерации влияет на решение лишь в соседних с ней точках.

Неявный метод переменных направлений. При последовательной верхней релаксации по строкам строки перебираются одна за другой, и эта процедура все время повторяется. Сходимость метода часто можно улучшить, чередуя движение по строкам и движение по столбцам. Тогда одна итерация будет состоять в последовательном прохождении сначала всех строк, а потом всех столбцов. Известно несколько очень похожих друг на друга вариантов неявнрго метода переменных направлений. Простейшей процедурой является применение сначала соотношения (4.124) для движения по строкам. Определенные таким образом величины будем обозначать индексом A-f 1/2. После этого в соответствии с формулой

4f - 2(l-f p2)

Шаг 1 Шаг 2

= ul + qMuIY + flui, /). (4.126a)

4V = + P.«V + bUV). (4.126b)

Разностные операторы 6 и 6 определены соотношениями (4.100).

На шаге 1 проводится прогонка по строкам, а на шаге 2 - прогонка по столбцам. Коэффициенты pk называются итерационными параметрами. Митчелл и Гриффите [Mitchell, Griffiths, 1980] показали, что при решении уравнения Лапласа в квадратной области итерационный процесс Писмена - Рак-форда сходится для любых фиксированных значений р/. С другой стороны, наибольшая вычислительная эффективность алгоритма достигается в тех случаях, когда итерационные параметры изменяются вместе с А, а в течение одной итерации коэффициенты р; должны быть одинаковы на обоих шагах итерации. Ключевым моментом, определяющим эффективность применения неявного метода переменных направлений для решения эллиптических уравнений, является выбор значений итерационных параметров Pk- Этот выбор можно осуществлять либо по методике, предложенной Писменом и Ракфордом [Peaceman, Rachford, 1955], либо по методике, предложенной Вахспрессом [Wachspress, 1966]. Хотя имеющийся опыт применения этих методик не позволяет узнать, какая из них лучше, результаты некоторых исследований указывают на то, что вторая из них предпочтительней. Читателю, который захочет воспользоваться

Для обеспечения диагонального преобладания в методе прогонки требуется, чтобы 0 1 -f при проведении итераций по строкам и 0 (1 + при проведении итераций по столбцам.

Разностные схемы, получающиеся при применении неявных методов переменных направлений для решения двумерного уравнения теплопроводности (4.97), также довольно часто используются для решения уравнения Лапласа. Возможность применения такого подхода объясняется тем, что если в описываемой уравнением (4.97) нестационарной задаче граничные условия не зависят от времени, то решение асимптотически стремится к стационарному решению, удовлетворяющему уравнению Лапласа. Так как нас интересует лишь стационарное решение, то размер шага по времени можно выбрать, исходя из условий наиболее быстрой сходимости итерационного процесса. Положив в соотношениях (4.103) aAt/2 = pky запишем двухшаговую неявную схему Писмена - Ракфорда для решения уравнения Лапласа:

неявным методом переменных направлений, мы советуем сначала ознакомиться с работами, посвященными выбору итерационных параметров р;.

Сопоставить времена счета при использовании точечно- и блочно-итерационных методов с последовательной верхней релаксацией не просто из-за сложности подбора оптимального значения параметра верхней релаксации. Кроме того, результат такого сопоставления во многом определяется конкретными особенностями рассчитываемой задачи, граничными условиями и числом узлов разностной сетки. Блочно-итерационные методы требуют обычно меньше итераций, чем точечно-итерационные методы, но, как мы уже указывали, на каждой итерации приходится проводить больший объем вычислений. Имеющийся опыт показывает, что для большинства задач время счета для достижения одинаковой точности при применении методов последовательной верхней релаксации по строкам и Гаусса - Зайделя с последовательной верхней релаксацией практически одинаково. Неявный метод переменных направлений с последовательной верхней релаксацией (при постоянном параметре итераций) позволяет часто сократить время счета на 20-40 % по сравнению с методом Гаусса -Зайделя с последовательной верхней релаксацией. При переменном параметре итераций можно обычно достичь еще большего сокращения времени счета.

Сильно неявные методы. В последние годы разработан новый тип блочно-итерационной процедуры решения системы алгебраических уравнений, возникающей при дискретизации эллиптических уравнений в частных производных. Для иллюстрации этого подхода рассмотрим систему алгебраических уравнений, получающуюся при использовании пятиточечной схемы для решения уравнения Лапласа. Запишем эту систему уравнений в виде

И]и = С,

где [А] - сильно разреженная матрица коэффициентов, и - вектор-столбец неизвестных, а С - вектор-столбец известных величин. Стоун [Stone, 1968] предложил решать эту систему уравнений методом факторизации с использованием сильно неявной процедуры. Суть этого метода состоит в замене разреженной матрицы [А] матрицей [Л + Р], которая представляется в виде произведения верхней [U] и нижней [L] разреженных треугольных матриц. Если матрицы [L] и [U] неразреженные, то эффективность рассматриваемого метода оказывается близкой к эффективности метода исключения Гаусса; следовательно, успех применения метода факторизации определяется выбором мат-