рицы [Р]. Важно, чтобы элементы этой матрицы были малы по абсолютной величине, а получающаяся в результате система уравнений должна быть более неявной, чем при использовании метода переменных направлений. Для построения итерационного алгоритма перепишем систему уравнений [Л]и = С в виде

[А + Р] и+ = С + [Р] и\

Представим матрицу [В] = [А + Р] как произведение верхней [U] и нижней [L] треугольных матриц. Тогда

[L] [U] и+ = С + [Я] и\

Если ввести промежуточный вектор V+ = [U]u+\ то получим следующий двухшаговый алгоритм:

Шаг 1

[L]\ = C + [P]n\ (4.127а)

Шаг 2

[Щп""=V\ (4.127b)

По этому алгоритму расчет проводится на каждой итерации. На шаге 1 осуществляется прямая подстановка, а на шаге 2 -обратная.

Стоун [Stone, 1968] выбрал матрицу [Р] таким образом, чтобы в матрицах [L] и [U] было только по три ненулевые диагонали, а главная диагональ матрицы [U] состояла бы из одних единиц. Кроме того, элементы матриц [L] и [U] были подобраны так, что ненулевые элементы матрицы [А] совпали с расположенными на их месте элементами матрицы [В], т. е. матрица [В] отличалась от матрицы [А] появлением двух новых ненулевых диагоналей. Элементы матриц [L], [U] и [Р] можно определить по заданным уравнениям, основываясь на произведении [L][f/]. Подробно этот метод описан Стоуном [Stone, 1968]. Рассмотренный метод неявный как по х, так и по у. Проведенные численные расчеты показали, что время решения уравнения Лапласа этим методом составляет лишь 50-60% времени решения неявным методом переменных направлений.

Шнейдер и Зедан [Schneider, Zedan, 1981] предложили новый способ построения матриц [L] и [U], позволяющий сократить время расчета в два - четыре раза по сравнению с методом Стоуна (Stone, 1968). Получившийся в результате метод авторы назвали модифицированным сильно неявным методом. Алгоритм решения уравнений этим методом также описывается соотношениями (4.127а) и (4.127Ь); улучшение же достигнуто благодаря распространению метода Стоуна на девятиточечную схему

решения уравнения Лапласа. Модифицированный сильно неявный метод можно использовать и для решения разностных уравнений, получающихся при применении пятиточечной схемы, при этом, как уже отмечалось, время расчета сокращается в два - четыре раза. По-видимому, новый метод является эффективным и довольно общим методом решения алгебраических уравнений. Подробно он описан в приложении С.

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение)

Мы изучили различные конечно-разностные методы и применили их к решению простых линейных задач. Это позволило нам лучше понять эти методы и познакомиться с их основными специфическими особенностями. К сожалению, в гидромеханике обычно приходится решать нелинейные задачи, так как давление, плотность, температура и скорость должны быть определены из решения нелинейной системы уравнений в частных производных.

Полезно сначала изучить какое-то одно простое нелинейное уравнение, аналогичное уравнениям гидромеханики. Это уравнение должно включать в себя члены, описывающие те же физические процессы, что и члены, входящие в уравнение гидромеханики, т. е. конвективный, диффузионный или диссипативный и нестационарный члены. Такое простое нелинейное уравнение было предложено Бюргерсом [Burgers, 1948]. Оно имеет вид

Первое и второе слагаемые в левой части этого уравнения являются соответственно нестационарным и конвективным членами, а в правой части стоит вязкий член. Если вязкий член не равен нулю, то уравнение (4.128) параболическое; если же он равен нулю, то в уравнении остаются лишь нестационарный и нелинейный конвективный члены. Такое уравнение гиперболическое и имеет вид

1 + „£0. (4.129)

Его можно рассматривать как модельное для уравнений Эйлера, описывающих движение идеального газа. Уравнение (4.129) есть нелинейное уравнение конвекции и обладает некоторыми математическими особенностями, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем. После этого мы опишем различные разностные схемы, используемые для решения невязкого уравнения Бюргерса. При этом будут приведены типичные результаты, полу-

dt дх

где в общем случае А =А{и)- матрица Якоби dFi/dujy а в нашем простом примере А = dF/du, Так как наше уравнение (или система уравнений) в частных производных гиперболическое, то все собственные значения матрицы А вещественные. Гладким называется такое решение уравнения (4.131), когда функция и непрерывна внутри области, а ее производная может иметь разрыв на границе (т. е. решение уравнения является непрерывным по Липшицу). Слабым называется решение уравнения (4.131) гладкое всюду, кроме некоторой поверхности в пространстве (x,t), на которой функция и может иметь разрыв. На величину скачка функции и при переходе через поверхность разрыва накладываются определенные ограничения. Пусть w - произвольная непрерывная векторная функция с непрерывной первой производной, равная нулю вне некоторой ограниченной области, тогда и называется слабым решением уравнения (4.130), если

J J {wtu + wF) dxdt+w (x, 0) Ф (x) dx = 0, (4.132)

Причем ф{х) = и{х,0). Гладкое решение всегда является одновременно слабым решением, а всякое непрерывное слабое

чаемые при расчетах по многим широко используемым разностным схемам, и выяснена роль нелинейных членов. Уравнение Бюргерса будет рассмотрено в § 4.5.

Уравнение (4.129) можно интерпретировать и как нелинейное волновое уравнение, при этом скорость распространения волны в различных точках будет разной. В противоположность этому в ранее изученном линейном одномерном уравнении конвекции (линейном волновом уравнении) (4.2) скорость распространения любых возмущений была постоянна. Так как скорость распространения возмущений меняется, то характеристики начинают пересекаться и в решении возникают разрывы, аналогичные ударным волнам в газовой динамике. Следовательно, рассматриваемое одномерное модельное уравнение позволяет изучать свойства разрывных решений.

Нелинейные гиперболические уравнения в частных производных обладают решениями двух типов согласно Лаксу [Lax, 1954]. Поясним это на примере простого скалярного уравнения

1г+1г = 0- (4.130)

В общем случае и неизвестная и функция F{u)-векторы. Перепишем уравнение (4.130) в виде

"+Л- = 0. (4.131)