решение является гладким. Подробно теория слабых решений изложена в прекрасных книгах [Whitham, 1974] и [Jeffrey, Та-niuti, 1964]. Теория слабых решений гиперболических уравнений в частных производных - относительно недавно созданная математическая теория. Одним из примеров слабого решения являются ударные волны, возникающие в сверхзвуковых течениях невязкой жидкости. Интересно заметить, что решения уравнений газовой динамики с ударными волнами были известны за 50- 100 лет до того, как была построена теория слабых решений систем гиперболических уравнений в частных производных.

Рис. 4.23. Типичная задача о распространении разрыва для уравнений Бюргерса.

Вернемся к невязкому уравнению Бюргерса и найдем условия существования слабого решения этого уравнения, т. е. необходимые условия существования решения с разрывом, как изображено на рис. 4.23.

Пусть w(x,t)-произвольная непрерывная функция, имеющая непрерывную первую производную. Кроме того, пусть она обращается в нуль на границе В области D и вне D (на дополнении к D); D - произвольная прямоугольная область в плоскости (х, t). Ясно, что в этом случае

{uwt + Fw,) dx dt = 0.

(4.133) (4.134)

Если функции и и F непрерывны и имеют непрерывные первые производные, то уравнения (4.133) и (4.134) эквивалентны. Входящий в уравнение (4.132) второй интеграл в последних двух уравнениях отсутствует, так как функция w на границе равна нулю. Функция u{xj), удовлетворяющая условию (4.134) для

любой функции w, называется слабым решением невязкого уравнения Бюргерса. Отметим, что, для того чтобы удовлетворить условию (4.134), функция и не обязательно должна быть дифференцируемой.

Рассмотрим случай, когда прямоугольная область D в плоскости (л,/) разделена кривой t(x,/) = 0, на которой функция и имеет разрыв. Предположим, что функция и непрерывна и имеет непрерывные первые производные в подобластях, лежа-

Рис. 4.24. Схематическое изображение произвольной области с расположенным в ней разрывом.

щих слева от i:(D\) и справа от t{D2). Используя формулы интегрирования по частям и учитывая, что функция и равна нулю на границе области D и вне Z), из (4.134) получим

+ \ Ы COS ai + [F] cos аз) ds = 0. (4.135)

Последний интеграл вычисляется вдоль кривой т(л:, = 0, разделяющей подобласти D\ и D2. Он появляется при интегрировании по частям вследствие того, что кривая т(л:,/) = 0 является границей подобластей D\ и Z). Квадратными скобками обозначена разность значений заключенной в них величины по разные стороны разрыва («скачок» этой величины при переходе через разрыв), ai и аг - углы между направлением нормали к кривой t(x, 0 = 0 и осями / и X соответственно. Рассматриваемая задача проиллюстрирована на рис. 4.24.

Согласно (4.133), входящие в (4.135) интегралы по подобластям D\ и D2 равны нулю, поэтому и последний интеграл равен

(штрихом обозначено дифференцирование по л:). Следовательно,

М [fjil

11/2

Окончательно

«2-"i dt «2-«1= -2 -

dx U\ + U2

(4.137)

т. е. скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей слева и справа от него. Зная, что по обе стороны разрыва скорости постоянны и что сам он движется с постоянной скоростью {u\ + U2)/2, легко провести сравнение решений по различным численным методам расчета течений с разрывами с точным решением.

Волны разрежения встречаются в сверхзвуковых течениях не реже, чем ударные волны. Известно точное решение уравнения Бюргерса, описывающее волну разрежения. Пусть начальное распределение а{х,0) имеет вид, изображенный на рис. 4.25. Характеристики уравнения Бюргерса описываются соотношением

(4.138)

Вид характеристик в плоскости (х, t) показан на рис. 4.26. В левой полуплоскости характеристики суть вертикальные прямые, а справа от характеристики, ограничивающей волны разрежения, они составляют с осью х угол я/4 рад. Рассматривае-

нулю для любой функции W. Следовательно,

[и] cos tti + [F] cos 02 = 0. (4.136)

Последнее соотношение и является условием, которому должно удовлетворять слабое решение и уравнения Бюргерса. Рассмотрим движущийся разрыв. Пусть начальное распределение и{х,0) имеет вид, показанный на рис. 4.23, где щ и U2 - значения и слева и справа от разрыва. В одномерном случае уравнение поверхности х(х, t) = 0 можно представить в виде / - t\ (х) = = 0. Тогда входящие в (4.136) направляющие косинусы определяются соотношениями