178 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Дифференцируя его по времени, получаем

dt* ~ dt dx dxdt ~ dxKdt)

где порядок дифференцирования функции F изменен. Так как F = F{u), то

Следовательно, производную dF/dt можно заменить по формуле

dt dx

Тогда

dt - dx\ dx)

В случае уравнения Бюргерса матрица Якоби Л состоит лишь из одного элемента. Если решается система уравнений, то w и F -векторы, а Л - матрица. Подставляя найденные производные в разложение функции и в ряд Тейлора, получаем

„(.. < + А/) = .(.. 0-i.- + i(4£-)+....

Для построения схемы Лакса -Вендроффа теперь достаточно вместо производных подставить их центрально-разностные аппроксимации

"/ "/ Дд; 2

Матрица Якоби Л вычисляется в середине между узлами разностной сетки, т. е.

Если решается уравнение Бюргерса, то F - и Л = ы. В этом случае Л/+1/2 = (и/+ «/+0/2, Л/-1/2 = («/ + «/-i)/2. Коэффициент перехода для рассматриваемого метода вычисляется по формуле

G = 1 - 2 (- Л ) (1 - cos р) - :2/1 Л sin р, (4.143)

а условие устойчивости имеет вид (Д/Дл:)тах 1.

u « О

Рис. 4.28. Решение невязкого уравнения Бюргерса, полученное схемой Лакса - Вендроффа.

числе Куранта, равном 0.6, наблюдаются более сильные осцилляции решения, чем при числе Куранта, равном 1. Обычно при уменьшении числа Куранта ухудшается качество численного решения (см. п. 4.1.6).

4.4.3. Метод Мак-Кормака

В п. 4.1.8 было показано, что метод Мак-Кормака является модификацией метода Лакса - Вендроффа на основе схемы предиктор-корректор. Этот метод намного проще метода Лакса - Вендроффа, так как в разностные уравнения не входит матрица Якоби.

Для уравнения Бюргерса невязкого течения схема Мак-Кормака имеет вид

(4.144)

,«+1 1 Uf = Y

Коэффициент перехода и условие устойчивости в этом случае такие же, как в схеме Лакса - Вендроффа. Результаты расчета движущегося вправо разрыва методом Мак-Кормака показаны на рис. 4.29. Положение разрыва определяется довольно точно.

На рис. 4.28 показаны результаты расчета методом Лакса - Вендроффа той же модельной задачи, что и в предыдущем разделе. Положение движущегося вправо разрыва определяется достаточно точно, а сам разрыв описывается довольно крутой линией. Осцилляции решения вблизи разрыва подчеркивают преимущественно дисперсионные свойства разностной схемы. Хотя для аппроксимации производных используются центральные разности, решение асимметрично, так как разрыв движется. При

1 -wr-v«c53<7-i ---Тачное решение

-о- Д1/Дх = 0.6 -о- Д1/лх = 1.0

------ U = о

Рис. 4.29. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Мак-Кормака.

Обычно схема Мак-Кормака очень хорошо описывает разрывы. Отметим, между прочим, что изменение направления численного дифференцирования на шагах предиктор и корректор приведет к изменению результатов расчета. Лучше всего рассчитываются разрывы, если на шаге предиктор разности берутся в направлении движения разрыва. Мы предложим читателю проверить это в задачах, которые помещены в конце главы.

4.4.4. Метод Русанова или Бёрстейна - Мирина

Имеющий третий порядок точности метод Русанова или Бёрстейна-Мирина рассмотрен в п. 4.1.11. В этом методе для аппроксимации производных используются центральные разности. Применяя его к уравнению (4.130), получаем разностную схему

иПт=т (« + «?) - т 1г -

иГ = «/ - i-lrC- 2F/%2 + 7F/%, - 7FU + 2FU) -

3 д/ /„(2) r2) \

- Ж («/+2 - + К - + «?-2). (4.145)

Результаты расчета отличаются от полученных методом Лакса- Вендроффа при тех же числах Куранта. Это является следствием как изменения направления численного дифференцирования на шагах предиктор и корректор, так и следствием нелинейности рассматриваемого уравнения в частных производных. Нет ничего удивительного в том, что разные результаты получаются методами, которые для линейных задач эквивалентны.

= ч - .

---Точное решение

-о- At/Лх =0.6 -О- д1/дх = 1.0