Последний член в соотношении, описывающем третей шаг, является конечно-разностной аппроксимацией члена с четвертой производной {Ах)ди/дх, дополнительно вводимого в уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Введение этого члена не снижает третий порядок точности схемы, так как он имеет порядок 0((Ах)). Из анализа устойчивости рассматриваемого

U = 1

---Точное решение

-о- At/Дх = 0.6; 0) = 2.0 ~о- At/Ax = 1 Л ; (л) = 3.0

U = О

Рис. 4.30. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Русанова.

/\/\Л

/\/\/\/\

l + f At, (2) t+jAt, (1)

Рис. 4.31. Пирамида узлов сетки для схемы Русанова.

метода следует, что коэффициент перехода выражается формулой

X {1 + у (1 - cos Р) [l - (-1 «)] }. (4.146)

В случае уравнения Бюргерса эта схема устойчива, если

I V I 1 или

<1

4v2-V<CD<3.

(4.147)

На рис. 4.30 показаны результаты расчета не этой схеме решения уравнения Бюргерса с движущимся вправо разрывом.

(2) 1 , ,/1) 2

Г = - 4 2f/\2 + 7F/\, - 7FU + 2FU)

24 Дл:

8 Дл: со 24

- (?+2 - 41 + 6? AuU + uU) (4.148)

Третий шаг метода УормингаКатлера - Ломакса совпадает с третьим шагом метода Русанова. Отметим, что на первых двух шагах можно использовать и другой метод второго порядка точности. Бёрстейн и Мирин показали, что для вычисления uf можно использовать любой метод второго порядка точности. Линейный анализ устойчивости рассматриваемой разностной схемы показывает, что она устойчива при тех же условиях (4.147), при которых устойчива схема Русанова. На рис. 4.32 схематически показано, как при использовании метода Уорминга - Катлера Ломакса происходит переход с одного слоя на другой. Отметим, что на этой диаграмме направление численного дифференцирования на первых двух шагах различно. Направление дифференцирования можно изменить, а можно и циклически менять это направление при проведении нескольких последовательных шагов по времени.

Положение разрыва и его интенсивность описываются корректно, однако перед и за разрывом наблюдается превышение точных значений. На рис. 4.31 схематически показано, как при использовании метода Русанова происходит движение по точкам шаблона при переходе с одного слоя на другой.

4.4.5. Метод Уорминга - Катлера - Ломакса

Уорминг и др. [Warming et al., 1973] предложили метод построения разностной схемы третьего порядка точности без использования центральных разностей. Первые два шага этого метода совпадают с методом Мак-Кормака при шаге (2/3)АЛ Основное преимущество такого метода перед методом Русанова состоит в том, что он использует значения всех величин лишь в узловых точках.

Применяя метод Уорминга - Катлера - Ломакса, получаем разностную схему

/\/\/\

t\t\f\f\

t+f «, (II

Рис. 4.32. Пирамида узлов сетки для метода Уорминга - Катлера - Ломакса.

---Точное решение

-<>- At/Лх = 0,6; ы = 2.0 -О- At/Ax = 1,0; о) = 3.0

Рис. 4.33. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Уорминга - Катлера - Ломакса.

результатов можно прийти к заключению, что все методы третьего порядка приводят к примерно одинаковой точности.

4.4.6. Самонастраивающийся метод третьего порядка точности

Параметр со, появляющийся на третьем шаге в двух только что рассмотренных методах, может быть выбран относительно произвольно. Его величина ограничена лишь условиями устойчивости разностной схемы. Выбранное в начале расчета значение параметра со остается во всех узлах сетки одним и тем же. Однако если вводимый на третьем шаге демпфирующий член записать в дивергентном виде

д f ди\

На рис. 4.33 показаны результаты расчета решения уравнения Бюргерса с движущимся вправо разрывом по схеме Уорминга - Катлера - Ломакса. Эти результаты почти не отличаются от полученных в предыдущем разделе. На основе полученных

t + At, л + 1