г = ГоЛ; + е- sin [плх), (2.10)

Пример 2.4. Определить смещение y{xj) струны длины закрепленной в точках л: = О и х = 1, если ее начальное смещение имело форму г/(л:, 0)= sin (ял: ) и начальные скорости отсутствуют. Предполагается, что внешние силы на струну не действуют.

Решение, Колебания струны описываются волновым уравнением

= а2- (2 11)

{а - положительная константа). Решение должно удовлетворять граничным условиям

* f/(0, 0 = У(/, 0 = 0 (2.12)

и начальным условиям

У(а:, 0) = sin. ±-y{x,t)\t, = Q, (2.13)

Используя метод разделения переменных, получим решение в виде

у(Ху О = sin -у- cos (ая- . (2.14)

Обычно решение такого типа задач удается найти лишь в виде суммы бесконечного ряда. В рассматриваемом примере удалось обойтись лишь одним слагаемым благодаря тому, что первый член ряда в точности удовлетворяет начальным условиям.

Характер физических процессов, описываемых уравнением теплопроводности и волновым уравнением, различен, хотя оба этих уравнения являются маршевыми. Различаются также методы их решения и математические свойства этих решений. Причины этого будут ясны после изучения математических свойств уравнений в частных производных.

Типичными примерами маршевых задач являются также нестационарные течения невязкой жидкости, стационарные сверхзвуковые течения невязкого газа, пограничный слой, нестационарное распространение тепла.

§ 2.3. Математическая классификация уравнений

Уравнение в частных производных второго порядка, записанное в общем виде, обычно используют для пояснения математической классификации уравнений в частных производных. Рассмотрим уравнение в частных производных

a<t>.. + b<i>,y + c<i>yy + d<l>, + e<i>y + f<i> = g{x, у). (2.15)

Здесь а, 6, с, rf, е, / - функции от л:, у, т. е. рассматривается лишь линейное уравнение. Хотя для последующего анализа это ограничение несущественно, однако оно позволяет упростить изложение. Часто рассматривают квазилинейные уравнения, т. е. уравнения, линейные относительно старших производных. В этом случае коэффициенты а, 6 и с в уравнении (2.15) могут зависеть от х, у, ф, фх и фу. Мы, однако, ограничимся линейным уравнением (2.15) с коэффициентами, зависящими лишь от х и у.

Определим теперь канонические формы записи уравнений в частных производных различных типов. Известно, что в виде (2.15) могут быть записаны уравнения трех различных типов - гиперболические, параболические и эллиптические. Такая классификация уравнений в частных производных второго порядка проводится по аналогии с классификацией кривых второго порядка в аналитической геометрии. Тип уравнения в частных производных, так же как и тип конического сечения кривой второго порядка, определяется знаком определителя. Уравнение называется гиперболическим в точке (хо, уо), если

Ь-4ас>0. (2.16) Его каноническая форма > имеет вид

Ф11-фп = ЛФ.Фг,.ФЛ.У\). (2.17)

Уравнение называется параболическим в точке (хо, f/o), если

Ь24ас = 0. (2.18) Его каноническая форма имеет вид

Ф11 = /к{ф,ФпФЛ,ц). (2.19) Уравнение называется эллиптическим в точке (хо.уо), если

62 - 4ас < 0. (2.20)

Его каноническая форма

Фll + Фr,r, = hziФl,Фn,ФЛ,ц). (2.21)

1> В отечественной литературе ее обычно называют второй канонической формой гиперболического уравнения. - Прим. ред.

В отечественной литературе ее обычно называют первой канонической формой гиперболического уравнения.- Ярал. ред.

Волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа - соответственно уравнения трех указанных типов. При исследовании уравнений гиперболического типа часто используют их характеристическую форму

Ф1г = (ф,ф,фЛ.ц1 (2.22)

которая особенно удобна для нахождения аналитических решений.

Проведем в уравнении (2.15) замену переменных

(а:, y)->(g, Л), (2.23)

т. е. вместо независимых переменных л: и у введем новые переменные I и Г]. Потребуем, чтобы это преобразование было невырожденным, т. е. чтобы между {х,у) и (,т]) существовало взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно, чтобы был отличен от нуля якобиан

1 = Щ = 1Лу-1уУ\. (2.24)

[Taylor, 1955]. При применении преобразования координат (2.23) все производные, входящие в уравнение (2.15), вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции. Например,

дх-дг dry

Подставив эти выражения для производных в (2.15), получим 11 + ч + Сг,ч+ •=-ё(> л).

Здесь

Становится ясным важный результат этого преобразования. Дискриминант преобразованного уравнения

В2 = 4flc) {1,ц„ - (2.26)