Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

190 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений имеет вид

Г 1 -expfuRe, (jc/L- 1)1 )

" = "c{l+exp[aRe,(./L-i;]}- (4-162)

Re = i/o/(i, (4.163)

а й -решение уравнения

(й - 1)/(й+ l) = exp(-/2ReJ. (4.164)

Для простоты вместо уравнения (4.158) часто рассматривают линейное уравнение Бюргерса

ди , ди ди .пе\

-Ж + 17 = -дЖ (4.165)

Отметим, что при ji = О из него получается волновое уравнение, а при с = 0 - уравнение теплопроводности. Точное стационарное решение уравнения (4.165) с граничными условиями (4.160) и (4.161) имеет вид

= ч 1ехр(-/?,) 1> (4-)

где Rl = cL/[i. Точное нестационарное решение уравнения (4.165) с начальным условием и{х,0)= sin{kx) и периодическим граничным условием имеет вид

и {х, t) = ехр (- A2fi0 sin k(x - ct). (4.167)

Это решение полезно для анализа точности расчета по времени.

Уравнения (4.158) и (4.165) можно скомбинировать в обобщенное уравнение [Rakich, 1978]

ut + {c + bu)u, = \iu,,, (4.168)

где с и fe -свободные параметры. При fe=0 получаем линейное уравнение Бюргерса, а при с = 0 и 6 = 1 - нелинейное уравнение Бюргерса. Если с =1/2 и 6=-1, то обобщенное уравнение Бюргерса имеет точное стационарное решение

l+th-2=l. (4.169)

которое при 1= 1/4 показано на рис. 4.37. Следовательно, если начальное распределение для и задано соотношением (4.169), то точное решение не меняется по времени, а остается равным заданному начальному распределению. Другие точные решения уравнения Бюргерса можно найти в работе [Benton, Flatzman, 1972], в которой приведено 35 различных точных решений.



Для линейного случая {Ь - 0) выражение для F упрощается и

1 J-

III..

0.0 1.0

Рис. 4.37. Точное решение уравнения (4.168).

3.0 х-х

сводится к виду F = са. Если ввести А = dF/du, то уравнение (4.172) примет вид

щ + Au = liu. (4.174)

Для нелинейного уравнения Бюргерса (с = 0, 6 = 1) Л равно и, а для линейного уравнения (6 = 0) А равно с. В последующем при анализе разностных схем мы будем использовать уравнение Бюргерса как в виде (4.172), так и в виде (4.174).

4.5.1. Метод разностей вперед по времени и центральных разностей по пространству (ВВЦП)

Методом ВВЦП Роуч [Roache, 1972] назвал метод, полученный при применении к линеаризованному уравнению Бюргерса (к уравнению (4.174) при А = с) разностей вперед по времени и центральных разностей по пространству. Полученная

Уравнение (4.168) можно записать в дивергентной форме

« + ?. = 0, (4.170) где F определяется соотношением

F = cu-[-bu/2-iiu, (4.171) Уравнение (4.168) можно записать и по-другому:

«, + F, = fi«,„ (4.172)

Р = си + ЬиУ2. (4.173)



192 Гл. 4 Метод конечных разностей для модельных уравнений В результате разностная схема имеет вид

Это -явная одношаговая схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ах) 2). Выпишем модифицированное уравнение

Щ + си, = и.. + (Зг - -1).,,. +

(j J 2v+10vr-3v3)«,,,,+ .... (4.176)

Для уравнения Бюргерса г = \iAt/(Ах), а v = cAt/Ax. Отметим, что при г= 1/2, v = 1 коэффициенты при первых двух членах в правой части модифицированного уравнения обращаются в нуль. К сожалению, при этом исчезает вязкий член ixuxx в рассматриваемом уравнении в частных производных. Следовательно, метод ВВЦП при г = 1/2 и v = 1 приводит к неприемлемой конечно-разностной аппроксимации уравнения Бюргерса, так как в этом случае разностная схема принимает вид и- ="?-г

Из описанного ранее эвристического анализа устойчивости следует, что для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы коэффициент при Uxx был больше нуля. Следовательно, cAt/2 ji, или

Последнее соотношение можно переписать в виде

v2<2r. (4.177)

Очень полезным параметром, который естественно появляется при численном решении уравнения Бюргерса, оказывается сеточное число Рейнольдса, определяемое соотношением

ReAx = cAxJii. (4.178)

Этот безразмерный параметр, характеризующий отношение конвекции к диффузии, играет важную роль при определении характера решения уравнения Бюргерса. Сеточное число Рейнольдса (называемое также числом Пекле) можно выразить через V и г следующим образом:

Р с Дл: £ (А 1.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124