Промышленный лизинг
Методички
190 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений имеет вид Г 1 -expfuRe, (jc/L- 1)1 ) " = "c{l+exp[aRe,(./L-i;]}- (4-162) Re = i/o/(i, (4.163) а й -решение уравнения (й - 1)/(й+ l) = exp(-/2ReJ. (4.164) Для простоты вместо уравнения (4.158) часто рассматривают линейное уравнение Бюргерса ди , ди ди .пе\ -Ж + 17 = -дЖ (4.165) Отметим, что при ji = О из него получается волновое уравнение, а при с = 0 - уравнение теплопроводности. Точное стационарное решение уравнения (4.165) с граничными условиями (4.160) и (4.161) имеет вид = ч 1ехр(-/?,) 1> (4-) где Rl = cL/[i. Точное нестационарное решение уравнения (4.165) с начальным условием и{х,0)= sin{kx) и периодическим граничным условием имеет вид и {х, t) = ехр (- A2fi0 sin k(x - ct). (4.167) Это решение полезно для анализа точности расчета по времени. Уравнения (4.158) и (4.165) можно скомбинировать в обобщенное уравнение [Rakich, 1978] ut + {c + bu)u, = \iu,,, (4.168) где с и fe -свободные параметры. При fe=0 получаем линейное уравнение Бюргерса, а при с = 0 и 6 = 1 - нелинейное уравнение Бюргерса. Если с =1/2 и 6=-1, то обобщенное уравнение Бюргерса имеет точное стационарное решение l+th-2=l. (4.169) которое при 1= 1/4 показано на рис. 4.37. Следовательно, если начальное распределение для и задано соотношением (4.169), то точное решение не меняется по времени, а остается равным заданному начальному распределению. Другие точные решения уравнения Бюргерса можно найти в работе [Benton, Flatzman, 1972], в которой приведено 35 различных точных решений. Для линейного случая {Ь - 0) выражение для F упрощается и
0.0 1.0 Рис. 4.37. Точное решение уравнения (4.168). 3.0 х-х сводится к виду F = са. Если ввести А = dF/du, то уравнение (4.172) примет вид щ + Au = liu. (4.174) Для нелинейного уравнения Бюргерса (с = 0, 6 = 1) Л равно и, а для линейного уравнения (6 = 0) А равно с. В последующем при анализе разностных схем мы будем использовать уравнение Бюргерса как в виде (4.172), так и в виде (4.174). 4.5.1. Метод разностей вперед по времени и центральных разностей по пространству (ВВЦП) Методом ВВЦП Роуч [Roache, 1972] назвал метод, полученный при применении к линеаризованному уравнению Бюргерса (к уравнению (4.174) при А = с) разностей вперед по времени и центральных разностей по пространству. Полученная Уравнение (4.168) можно записать в дивергентной форме « + ?. = 0, (4.170) где F определяется соотношением F = cu-[-bu/2-iiu, (4.171) Уравнение (4.168) можно записать и по-другому: «, + F, = fi«,„ (4.172) Р = си + ЬиУ2. (4.173) 192 Гл. 4 Метод конечных разностей для модельных уравнений В результате разностная схема имеет вид Это -явная одношаговая схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ах) 2). Выпишем модифицированное уравнение Щ + си, = и.. + (Зг - -1).,,. + (j J 2v+10vr-3v3)«,,,,+ .... (4.176) Для уравнения Бюргерса г = \iAt/(Ах), а v = cAt/Ax. Отметим, что при г= 1/2, v = 1 коэффициенты при первых двух членах в правой части модифицированного уравнения обращаются в нуль. К сожалению, при этом исчезает вязкий член ixuxx в рассматриваемом уравнении в частных производных. Следовательно, метод ВВЦП при г = 1/2 и v = 1 приводит к неприемлемой конечно-разностной аппроксимации уравнения Бюргерса, так как в этом случае разностная схема принимает вид и- ="?-г Из описанного ранее эвристического анализа устойчивости следует, что для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы коэффициент при Uxx был больше нуля. Следовательно, cAt/2 ji, или Последнее соотношение можно переписать в виде v2<2r. (4.177) Очень полезным параметром, который естественно появляется при численном решении уравнения Бюргерса, оказывается сеточное число Рейнольдса, определяемое соотношением ReAx = cAxJii. (4.178) Этот безразмерный параметр, характеризующий отношение конвекции к диффузии, играет важную роль при определении характера решения уравнения Бюргерса. Сеточное число Рейнольдса (называемое также числом Пекле) можно выразить через V и г следующим образом: Р с Дл: £ (А 1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 |