а при с < О - схема

= (4.,89,

сильнее (т. е. возрастать). Следствием такого нефизического поведения решения и является возникновение осцилляции решения.

При использовании метода ВВЦП можно избавиться от осцилляции, если при аппроксимации конвективного члена cux заменить центральные разности, обеспечивающие второй порядок точности по пространству, на разности против потока, имеющие первый порядок точности. Тогда при с > О получим разностную схему

+ ,4.,S6,

Схема первого порядка точности подавляет осцилляции благодаря введению в решение дополнительной диссипации. К сожалению, вносимая диссипация делает разностную схему настолько неточной, что разностная схема (4.186) не может рассматриваться как схема решения уравнения Бюргерса. Вносимая в решение большая диссипация очевидна из анализа модифицированного уравнения для этой схемы

«< + ca, = [(i(l+-)-... (4.187)

И сравнения его с модифицированным уравнением для схемы ВВЦП. В уравнении (4.187) в выражении для коэффициента при члене, содержащем Uxx, появляется дополнительное слагаемое fxReAA:/2. Следовательно, если Недл: больше 2, то этот дополнительный член приводит к большей диссипации (диффузии), чем вязкий член в исходном уравнении Бюргерса. Для уменьшения дисперсионных ошибок Леонард [Leonard, 1979а; 1979b], не вводя слишком большую искусственную вязкость, предложил аппроксимировать конвективный член разностями против потока с третьим порядком точности. При > О в этом случае получается разностная схема

"V 2Ллг 6ДJC )

= . (4..S8,

(Ajc)

В линейном случае можно провести анализ устойчивости методом Неймана (анализ устойчивости Фурье), и показать, что схема устойчива при v 1. Отметим, что условие устойчивости схемы не зависит от величины коэффициента вязкости р.; это связано с тем, что для аппроксимации вязкого члена использована схема Дюфорта - Франкела. Однако из условия согласованности следует, что величина {At/АхУ должна стремиться к нулю при At и Ajc, стремящихся к нулю, что накладывает на шаг по времени куда более жесткое ограничение, чем условие v 1. Поэтому с точки зрения Пейрета и Вивьяна [Peyret, Viviand 1975] схема «чехарда» Дюфорта - Франкела больше подходит для расчета стационарного решения (в этом случае точность расчета по времени несущественна), чем для решения нестационарных задач. В нелинейном случае рассматриваемая схема неустойчива, если ui = 0.

4.5.3. Метод Браиловской

И. Ю. Браиловская [1965] предложила следующую явную двухшаговую схему для решения уравнения (4.172): Предиктор

uf= «; (F?., - + г (и,"+, - 2и? + uU). (4.192)

4.6.2. Схема «чехарда» Дюфорта - Франкела

Мы уже отметили, что линеаризованное уравнение Бюргерса является комбинацией волнового уравнения первого порядка и уравнения теплопроводности. Поэтому мы можем попытаться скомбинировать некоторые алгоритмы, использовавшиеся раньше для решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Одной из таких схем и является схема «чехарда» Дюфорта -Франкела. Для уравнения (4.174) она имеет вид

Это одношаговая явная разностная схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации 0{{At/Ax), (АО (Д))-Для линейного случая {А = с) модифицированное уравнение имеет вид

+ .... (4.191)

198 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений Корректор

Щ = - YK +1 - + W+1 - 2w/ + j.

Формально эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации О {At, {АхУ). Если мы хотим найти лишь стационарное решение, то первый порядок точности по времени несуществен. Для линейного уравнения Бюргерса необходимое условие Неймана устойчивости разностной схемы имеет вид

I G Р = 1 - sin2 Р (1 ~ v2 Sin2 Р) + 4г (1 ~cos Р) X

X [ 1 - г (I - cos Р) (1 + v2 sin2 Р)]} < 1. (4.193)

Если пренебречь вязкостью (т. е. положить г = 0), то условие устойчивости примет вид v 1, а если пренебречь конвекцией, т. е. положить v = О, то получим, что схема устойчива при 1/2. На основе этих результатов Картер [Carter, I97I] предложил следующее условие устойчивости схемы Браиловской:

(4.194)

1 2ji \А\\ ,

Привлекательной особенностью этой схемы является то, что на шагах предиктор и корректор вязкий член один и тот же, поэтому его можно вычислить только один раз.

4.5.4. Метод Аллена - Чена

Аллеи и Чен [Allen, Cheng, 1970] предложили модификацию схемы Браиловской, позволяющую исключить из условия устойчивости ограничение на г. Эта схема имеет вид

Предиктор

= - Тл ~ - + "+ +

(4.195)

Корректор

Необычная конечно-разностная аппроксимация вязкого члена позволяет избежать ограничений на г, связанных с условием устойчивости, поэтому рассматриваемая схема в случае линейного уравнения Бюргерса устойчива при v 1. Благодаря этому при больших \1 этот метод позволяет использовать существенно больший шаг по времени, чем метод Браиловской. Метод Аллена-Чена формально имеет первый поргядок точности с погрешностью аппроксимации О {At, {Ах)),