4.5.5. Метод Лакса - Вендроффа

Мы уже применяли двухшаговый метод Лакса - Вендроффа для решения волнового уравнения. Среди нескольких различных вариантов использования этого метода для решения полного уравнения Бюргерса есть и такой:

Шаг 1

+ [К-з/2 - Un + «/+1/2) + («/\з/2) - 21/2 + «?-1/2)]- (4.196) Шаг 2

иГ=- -If (/ ~ ) + (/ - + /-)-

Этот вариант схемы Лакса - Вендроффа был использован Том-меном [Thommen, 1966] для решения уравнений Навье - Стокса. Другой вариант предложен Палумбо и Рубином [Palumbo, Rubin, 1972]. Он отличается тем, что предварительные значения вычисляются на слое с номером д + 1, а не ai + 1/2. Описанная в этом разделе разностная схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ах) 2). Точное условие устойчивости этой схемы, полученное в результате линейного анализа устойчивости, имеет вид

-(Л2Д/ + 2р1)<1. (4.197)

4.5.6. Метод Мак-Кормака

Применяя метод Мак-Кормака к полному уравнению Бюргерса (4.172), получаем разностную схему Предиктор

uf = u? - {Fhi -Fl) + r {uUi - 2и + (4.198)

Корректор

Щ =-2[/+"/ Тх - tf-i) + r[Uf+i-2Ui +Ui-i)

Эта схема имеет второй порядок точности как по пространству, так и по времени. Эта разностная схема получена при аппроксимации производной дР/дх на шаге предиктор разностями вперед, а на шаге корректор - разностями назад. Возможен и другой вариант схемы Мак-Кормака, использующий на шаге предиктор разности назад, а на шаге корректор - разности вперед.

Корректор

(4.200)

(4.201)

«Г==«7 + «>(оГ-и/).

В приведенных соотношениях у - промежуточные значения неизвестных, а г -их конечные значения, ш и со - релаксационные параметры, а uf-- значение и, полученное на предыдущем временном слое. Обычная схема Мак-Кормака получается, если положить 6=1, со = 1/2. В общем случае метод Мак-Кормака с верхней релаксацией имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0(А/, (Аа:)). Однако можно показать [Desideri, Tannehill, 1977b], что если

(00 = 16 -©1, (4.202)

то при решении линейного уравнения Бюргерса этот метод имеет второй порядок точности. Применение верхней релаксации

Оба варианта схемы Мак-Кормака имеют второй порядок точности. Найти точное условие устойчивости метода Мак-Кормака при решении уравнения Бюргерса не удается, однако можо использовать либо условие (4.194), либо эмпирическую формулу [Tannehill et al., 1975]

Лд;+2, > (4.199)

причем в обоих случаях с некоторым коэффициентом запаса. Последняя формула при Л, равном нулю, переходит в обычное для вязкого члена условие 1/2, а при [г, равном нулю, она переходит в обычное невязкое условие устойчивости ЛА/Аа:1. Метод Мак-Кормака широко применялся не только для решения уравнений Эйлера, но и для решения уравнений Навье -Стокса в случае ламинарного течения. Для многомерных задач разработан метод Мак-Кормака с ращеплением по времени, который будет описан в п. 4.5.8. Для решения задач с большими числами Рейнольдса Мак-Кормак разработал метод быстрого решения уравнений [МасСогтаск, 1976] и неявный метод [МасСогтаск, 1981], который будете описан в гл. 9.

Интересный вариант обычного метода Мак-Кормака получается при применении верхней релаксации на обоих шагах предиктор и корректор [Desideri, Tannehill, 1977а]:

Предиктор

ускоряет сходимость численного метода по сравнению с обычным методом Мак-Кормака примерно в Q раз, где

1-(Л%<о-1)- (4.203)

Анализ устойчивости Фурье в случае линейного уравнения. Бюргерса не позволяет найти необходимые и достаточные условия устойчивости рассматриваемой разностной схемы в виде алгебраического соотношения между параметрами v, г, ю и со. Однако необходимое условие устойчивости имеет вид

(5 1).(о>-1)<1. (4.204)

В общем случае условие устойчивости схемы приходится находить численно, и оно оказывается обычно более жестким, чем условия ю 2 и со 2.

4.5.7. Метод Брили - Макдональда

Неявный метод Брили - Макдональда [Briley, McDonald, 1973] основан на следующей конечно-разностной аппроксимации по времени уравнения (4.172) (фактически применяется неявный метод Эйлера):

/dFV /a2ttV+ Член (dF/dx)f разлагается в ряд Тейлора

при этом появляется производная d/dt{dF/dx), которая преобразуется следующим образом:

и наконец, комбинируя соотношения (4.205) - (4.207) и аппроксимируя производные по времени разностями вперед, а производные по пространству центральными разностями, получаем схему Брили - Макдональда

-дГ+ 2x +