М • 2

(4.209)

Поступая так же, как в раньше, получаем следующую разностную схему второго порядка точности:

= wfe)/+(«)"l- (4.210)

Обе разностные схемы (4.208) и (4.210) безусловно устойчивы и приводят к системам линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, которые можно решать прогонкой.

Метод Брили - Макдональда тесно связан с методом решения уравнений Навье -Стокса, разработанным Бимом и Уормингом [Beam, Warming, 1978]. Разностные схемы, полученные при решении этими методами уравнения Бюргерса, могут быть приведены к одному и тому же виду. Для этого записанные в дельта-форме члены в схеме Бима - Уорминга надо выразить через неизвестные (т. е. заменить Аг/ на (/" - /))- Метод Бима - Уорминга решения уравнений Навье -- Стокса описан в гл. 9.

4.5.8. Метод Мак-Кормака с расщеплением по времени

Для иллюстрации применения численных методов, предназначенных специально для решения многомерных задач, рассмотрим двумерное уравнение Бюргерса

ди , дР . dG / ди , ди\ />1 от

Если ввести Л, равное дР/ди, и В, равное дО/ди, то уравнение (4.211) можно переписать в виде

щ + Аи, + BUy = \i{u,, + Uyy). (4.212)

Формально это схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации О {At, (Ах) 2), однако стационарное решение определяется с погрешностью аппроксимации 0{{АхУ). Точность разностной схемы по времени может быть повышена, если для аппроксимации производных по временииспользовать центрированные разности или если ввести еще один временной слой, как это было уже сделано в случае схемы Бима - Уорминга. Например, применяя для аппроксимации производных по времени в уравнении (4.172) центрированные разности, получаем

1 о

(4.214)

и начальным условием

г/(;с, 0) = 0 (0<;с<1, 0< <1). Решение имеет вид

uU N-f 1-ехр[(;.~1)с/х]1 n-exp[(~l)/ti]l ,5.

Отметим, что записанное в таком виде решение легко обобщается на случай трехмерного линеаризованного уравнения Бюргерса. Все рассмотренные методы решения одномерного уравнения Бюргерса применимы и для решения двумерного уравнения Бюргерса, однако при решении многомерных задач используют обычно модифицированные алгоритмы. Это связано с тем, что условия устойчивости явных схем становятся более жесткими, а при использовании неявных схем желательно свести задачу к решению систем уравнений с трехдиагональной матрицей. В качестве примера такой модификации рассмотрим явный метод Мак-Кормака с расщеплением по времени.

Метод Мак-Кормака с расщеплением по времени [MacCormack, 1971; MacCormack, Baldwin, 1975] так «расщепляет» оригинальную схему Мак-Кормака, что решение многомерной задачи сводится к последовательному решению одномерных задач. Благодаря этому условие устойчивости разностной схемы становится менее жестким. Другими словами, расщепление позволяет получить решение в каждом направлении с максимально допустимым шагом по времени. Особенно заметно преимущество расщепления в том частном случае, когда максимально допустимые шаги по времени Atx, My сильно отличаются друг от друга из-за различия шагов Дх, Ау разностной сетки. Чтобы записать метод расщепления, воспользуемся одномерными разностными операторами Lx{Atx) и Li/(A/i/). Если оператор Lx{Atx) применяется к величине и"} , то выражение

<1 = люк1 (4-216)

Рей [Rai, 1982] получил точное стационарное решение двумерного линеаризованного уравнения Бюргерса

Щ + Шх + duy = \x {и,х + Uyy) (4.213)

с граничными условиями (О / оо)

"(•».) = ?Ш. »(.,.,) = о,

»(o...o--!;V,AiJ,r. "О...о=о

по определению эквивалентно следующей двухшаговой формуле:

«<./ = -о-

(4.217)

Верхним индексом * обозначен фиктивный временной слой. Аналогично определяется и оператор Ly{Aty). Выражение

по определению эквивалентно

(4.218)

(4.219)

Применяя к величине операторы Lx и Ly, разностную <?хему второго порядка точности можно построить следующим образом:

«?.V = (т-) (АО L„ (f-) ul(4.220)

Эта разностная схема имеет погрешность аппроксимации О ((А/) 2, (Ах) 2, (At/)2). В общем случае разностная схема, полученная при применении такой последовательности операторов, удовлетворяет следующим условиям: (1) устойчивости, если для каждого оператора шаг по времени не превосходит максимально допустимый для этого оператора; (2) согласованности, если суммы шагов по времени для каждого оператора совпадают; (3) аппроксимации со вторым порядком точности, если последова-*тельность операторов симметрична.

Приведем другие последовательности операторов, удовлетворяющих перечисленным условиям:

«r/-b,(f)L,()L44)L,(f)«?.,

(4.221)

где т - целое. Последнее выражение особенно полезно в случае y < Ал:.