Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

-[.-(ли

(4.22?)

2 Ах

hi) ulf.

Это схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации О {Atу {АхУ{АуУ). В линейном случае она безусловно устойчива. Очевидно, на каждом шаге по времени необходимо решать систему алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.

Если разностную схему Брили - Макдональда (4.208) прямо применить для решения двумерного уравнения Бюргерса, то задача сведется к решению системы алгебраических уравнений, матрица которой отлична от трехдиагональной. От этого недостатка схемы можно избавиться, воспользовавшись двухшаго-вым методом переменных направлений Дугласа - Ганна [Douglas, Gunn, 1964]

= 1 - (-2 Bl / - i6)] ul i + (ДО si /, (4.223)

= ulf-At Al f - iibi) ul i + AtSl /, (4.224)

2 Ax

4.5.9. Неявные методы переменных направлений

Для решения уравнений Навье - СтОкса движения газа В. И. Полежаев [1967] предложил модифицированный неявный метод переменных направлений Писмена - Ракфорда. Применяя этот метод к решению двумерного уравнения Бюргерса (4.212), получаем разностную схему



4.5.10. Многоитерационный метод предиктор-корректор

Рубин и Лин [Rubin, Lin, 1972] предложили многоитерационный метод предиктор-корректор для расчета параболизо-ванных уравнений Навье - Стокса. Этот метод исключает одновременное появление в уравнениях значений функций в узловых точках по нормальному у и поперечному z направлениям, а для достижения приемлемой точности используются итерации. Для иллюстрации этого метода применим его к решению трехмерного линейного уравнения Бюргерса

Ux + cuy + du = \i {Uyy + u), (4.225)

которое является модельным уравнением для параболизованных уравнений Навье-Стокса. В результате применения к этому уравнению многоитерационного метода предиктор-корректор получим разностную схему

"~ TaF /. k+i ~" /, k-\) +

+ №./+,.. - 2«?й!/.. + ft) +

+ W K+i. 2«-+>., + ,(4.226)

где индексом m обозначен номер итерации, х = /Ал:, у = jAy, Z - kAz. На первой итерации т полагается равным нулю, а соответствующие члены уравнения аппроксимируются либо простой линейной подстановкой mJj = m у либо с использованием разложений в ряд Тейлора, таких, как

Тогда в уравнение (4.226) при т = 0 входят лишь три неизвестные

1+1,/+1,/,l+uf-uk* (4.227)

которые могут быть найдены из решения системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. В плоскости с номером 1 расчет проводится в направлении от столбца с номером = 1, на котором заданы граничные условия, до последнего по k столбца узловых точек. На этом первая итерация заканчивается. На следующей итерации (т=1) в уравнение (4.226) также входят три неизвестные:

Uu-i.k- (4.228)



Итерационный процесс продолжается, до тех пор, пока решение в плоскости / + 1 не сойдется. Обычно для достижения приемлемой точности достаточно двух итераций (т = 0, т=1). После этого переходят к расчету в плоскости i-f- 2.

§ 4.6. Заключительные замечания

В этой главе мы попытались привести основные конечно-разностные методы решения простых модельных уравнений. При этом не ставилась задача описать все известные методы решения этих уравнений, поэтому некоторые довольно полезные методы не приведены. Однако представленные методы являются разумной предпосылкой для анализа методов решения более сложных задач, описанных в гл. 6-9.

Из представленной в этой главе информации видно, что для решения одной и той же задачи можно использовать множество различных численных методов. Отличие в качестве решений, получаемых этими методами, часто невелико, поэтому выбрать оптимальный метод довольно сложно. Однако выбрать наилучший метод можно при помощи опыта, полученного при программировании различными численными методами и последующем решении на ЭВМ модельных уравнений, описанных в этой главе.

Задачи

4.1. Выведите соотношение (4.19).

4.2. Получите модифицированное уравнение для схемы Лакса решения волнового уравнения. Сохраните члены вплоть до Uxxxx.

4.3. Повторите задачу 4.2 для неявной схемы Эйлера.

4.4. Получите модифицированное уравнение для схемы с перешагиванием (схемы «чехарда»). Сохраните члены вплоть до Uxxxxx-

4.5. Повторите задачу 4.4 для схемы Лакса - Вендроффа.

4.6. Определите погрешность вычисления амплитуды и фазы при Р = 90° после 10 шагов по времени, если волновое уравнение решается методом Лакса с V = 0.5.

4.7. Повторите задачу 4.6 для метода Мак-Кормака.

4.8. Пусть метод Лакса используется для решения волнового уравнения (с =1/2) с начальным условием и{х,0)= в{п(2лх), О < л; < 2, и периодическими граничными условиями при Ах = 0.02 и = 0.02.

(a) Используя коэффициент перехода, найдите погрешность определения амплитуды и фазы после 20 шагов по времени.

(b) Используя модифицированное уравнение, найдите (приближенно) погрешность определения амплитуды после 20 шагов по времени.

Указание. Точное решение линейного уравнения Бюргерса



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124