с начальным условием 0) = sin(jc) и периодическими граничными условиями имеет вид

и {X, t) = ехр (- V) sin [k (х - ct)].

4.9. Найдите коэффициент перехода при решении волнового уравнения методом с перешагиванием (методом «чехарда») и определите условия устойчивости получающейся разностной схемы.

4.10. Повторите задачу 4.9 для метода с разностями против потока.

4.11. Покажите, что при решении волнового уравнения методом Русанова получается разностная схема, эквивалентная следующей одношаговой разностной схеме:

«Г«= < - V (цА) (i + 41 (1 + 4) «/" -

4.12. Используя метод Неймана, найдите условие устойчивости разностной схемы, получаемой при решении волного уравнения методом Русанова. Указание: см. задачу 4.11.

4.13. Кроули [Crowley, 1967] предложил явную разностную схему второго порядка точности для решения волнового уравнения

V (м.)«?+Ш«/ - у V Ш«?.

- (а) Получите модифицированное уравнение для этой схемы, сохранив

члены вплоть до Uxxxxx

(b) Найдите необходимые условия устойчивости этой схемы.

(c) Определите погрешность вычисления амплитуды и фазы после 10 шагов по времени при Р = 90Р, если при решении волнового уравнения v = 1.

4.14. Решите на ЭВМ волновое уравнение «/+«;с=0. используя (а) схему Лакса; (Ь) схему Лакса - Вендроффа при начальном условии и(д?,0) = = sin 2пп (x/L), О х и периодических граничных условиях. Используйте сетку, состоящую из 41 точки при Дд;=1, и проведите расчет до / = 18. Решите эту задачу для л = 1, 3 и v = 1.0, 0.6, 0.3; полученные результаты сопоставьте графически с точным решением. Определите значения Р для л == 1 и п = 3 и вычислите погрешность в определении амплитуды и фазы для каждой из схем при v = 0.6. Сравните эти ошибки с ошибками, найденными из графиков.

4.15. Повторите задачу 4.14 для следующих схем: (а) схемы с разностями против потока; (Ь) схемы Мак-Кормака.

4.16. Повторите задачу 4.14 для следующих схем: (а) схемы Мак-Кормака, (Ь) схемы Русанова (о) = 3).

4.17. Решите на ЭВМ волновое уравнение Ut + Ux = О, используя (а) схему с разностями против потока, (Ь) схему Мак-Кормака. если заданы начальные условия

м(д;, 0) = 1, д:<10, и{х,0) = 6, х>\0.

и граничные условия Дирихле. Используйте разностную сетку, состоящую из 41 узла при Дл: = 1, и проведите расчет до значений / = 18. Решите эту

задачу для v = 1.0, 0.6, 0.3; полученные результаты сравните графически с точным решением.

4.18. Используя схему с разностями против потока, найдите решение двумерного волнового уравнения

«, + с(« + «) = 0 и условия устойчивости полученной разностной схемы.

4.19. Получите модифицированное уравнение для простого неявного метода решения одномерного уравнения теплопроводности. Сохраните члены, включающие производные до Uxxxxxx-

4.20. Определите условия устойчивости разностной схемы, полученной при помощи комбинированного метода В к решению одномерного уравнения теплопроводности.

4.21. Определите коэффициент перехода для явной схемы переменных направлений Саульева и .найдите условия устойчивости этой схемы.

4.22. Покажите, что для узлов сетки с четными номерами (i + / -f л) построенная методом «классики» разностная схема

принимает вид г,=1 xj i \/. /*,

Рис. 3-4.1.

4.23. Используйте простой явный метод для решения одномерного уравнения теплопроводности на разностной сетке, которая показана на рис. 3-4.1, при граничных условиях

г2==«з и начальных условиях М=2 = мз, 1. Покажите, что при г = 1/4

стационарное значение и в точке 1 = 2 равно

1=1 Z . 3 4 Рис. 3-4.2.

Обратите внимание на то, что члены этого ряда образуют геометрическую прогрессию, сумма которой известна.

4.24. Используйте неявный метод переменных направлений для решения двумерного волнового уравнения и найдите во внутренних узлах изображенной на рис. 3-4.2 сетки при Гх Гу = 2, если заданы начальные условия

на линия у

на линии

= 0, «О,

tt*=sO всюду вне этих линий, а граничные условия сохраняются равными их начальным значениям.

4.25. Решите на ЭВМ уравнение теплопроводности Ut = 0.2uxx, используя (а) простую явную схему, (Ь) явную схему переменных направлений [Barakat, Clark, 1966], если заданы начальные условия

и (JC, 0) = 100 sin (nx/L), L = U

и граничные условия u(OJ)= u{LJ)= 0. Проведите расчеты до t = 0.5 при приведенных в табл. 3-4.1 параметрах (если это возможно) и полученные результаты сравните графически с точным решением.

Таблица 3-4.1.

4.26. Повторите задачу 4.25 для схемы Кранка - Николсона.

4.27. Повторите задачу 4.25 для схемы Дюфорта - Франкела.

4.28. Уравнение теплопроводности

дТ дТ

описывает изменение по времени температуры в однородном твердом теле с постоянными свойствами, если изменение температуры происходит лишь в одном направлении. Физически это почти точно можно осуществить в длинном тонком стержне или в очень большой (бесконечной) стенке конечной толщины.

Рассмотрим большую стенку толщины L с начальным распределением температуры T(tyX) = с sin (ял:/!). Если температура поверхностей стенки и в дальнейшем поддерживается равной 0 то решение для температуры при / > 0. О < L, равно

- ant \ . пх sin -Г-.

Положим с = 100 С, L = 1 м, а = 0.02 mV4. Рассмотрим два явных метода решения этой задачи: (А) простую явную схему (4.73), устойчивую при аА (АА:)2 < 1/2; (В) явную схему переменных направлений (4.107), предложенную в работе [Barakat, Clark, 1966]. При использовании этой схемы уравнение для р решают явным методом, начиная с границы д: = О, а уравнение для д" •- начиная с границы х = L. При использовании этой схемы условие устойчивости не ограничивает величину шага по времени. Составьте программы решения на ЭВМ рассматриваемой задачи указанными методами А и В. Кроме того, для сравнения методов вам придется вычислить точное решение. Сопоставьте эти методы хотя бы в следующих случаях:

1. Для Ал: = 0.1, А/= 0.1 (соответствующее значение аА (АА:)2 = 0.2) сопоставьте результаты, полученные методами.А и В, с точным решением при / = 10 ч. Сравнение проводится графически.