2. Повторите указанное выше сопоставление на более мелкой сетке, полагая Ajc = 0.066667 (т. е. при уменьшении шага в 15 раз). Согласуется ли уменьшение погрешности с порядком аппроксимации 0(Ах)?

3. Для Ajf = 0.1 подберите А так, чтобы аМ/(АхУ = 0.5, и сопоставьте при « 10 ч результаты расчетов методами А и В с точным решением.

4. Покажите, что при aA (Ajc)2, больших 0.5, метод А становится неустойчивым. Одним из возможных путей решения этой задачи является построение на средней линии тела зависимости температуры от времени при aA (Ajc)2 » 0.6 при значениях времени 10-20 ч.

5. Для Ал: = 0.1 подберите А/ так, чтобы аМ/(АхУ = 1.0, и сопоставьте при /«10ч результаты расчетов методом В с точным решением.

6. Увеличивая аМ/{АхУ до 2, потом до 3 и т. д., повторите проведенное в предыдущем задании 5 сравнение до тех пор, пока согласованность результатов с точным решением не станет заметно плохой.

4.29. Повторите задачу 4.28, используя в качестве схемы В схему Кранка - Николсона.

4.30. Повторите задачу 4.28. используя в качестве схемы В простую неявную схему.

4.31. Придумайте метод решения задачи 4.28, используя конечно-разностную аппроксимацию вторых производных (3.35) с четвертым порядком точности.

4.32. Используйте конечно-разностную аппроксимацию (3.35) вторых производных

для построения конечно-разностного аналога уравнения Лапласа при Ах=Ау. Используя значения и в узлах разностной сетки, перейдите к явной записи разностной схемы. Чему равна погрешность \\\\\\\\\\\\\\\\л аппроксимации такой разностной схемы? ,\\\\\\Vs\N \\ s

4.33. Найдите погрешность аппроксимации конечно-разностной схемы (4.114) решения уравнения Лапласа при (а) Ал: = Ау; 11] зо см (Ь) Ajc Ф Ау.

4.34. Чему равна погрешность аппроксимации уравнения Пуассона Uxx + Uyy = х + у по девятиточечной разностной схеме (4.114) при

Ал: = Ау?

И-ЗОш-

Рис. 3-4.3. Тс

= 28 Вт/м2.Х.

0°С; h==

-2-3 равен 28 Вт/м-Х. Ко-

4.35. В поперечном сечении, изображенном на рис. 3-4.3, поверхность 1-4-7 является теплоизолированной (адиабатической). Коэффициент теплопередачи на поверхности 1-

эффициент теплопроводности твердого материала равен 3.5 Вт/м-°С. Используя итерационный метод Гаусса - Зайделя, найдите температуру в узлах 1, 2, 4 и 5.

4.36. Цилиндрическое ребро в форме иглы (рис. 3-4.4) прикреплено к стенке, имеющей температуру 200 °С, а его поверхность находится в газе с температурой 30 °С. Коэффициент теплопередачи равен 300 Вт/м-Х. Игла сделана из нержавеющей стали с коэффициентом теплопроводности

18 Вт/м2*°С. Разделите иглу на 5 частей и при помощи итерационного метода Гаусса Зайделя. найдите температуру в узлах сетки.. Вычислите скорость теплопередачи со всей поверхности иглы. При этом вы можете пренебречь

1.5 см

Рис. 3-4.4.

потерями тепла через наружный конец иглы (т. е. предположить, что он теплоизолирован).

4.37. Решите двумерное стационарное уравнение теплопроводности в квадратной области 0<а:<1, 0<t/<l. используя разностные сетки с шагами Ал: = At/ = 0.2 и 0.1. Сравните температуру в центре квадрата с точным решением. Граничные условия имеют вид

Г = 0, jf=:0, ;с= 1,

r = sin(njf), t/ = l.

4.38. Рассмотрим описываемый уравнением Лапласа стационарный процесс распространения тепла в двумерной области, изображенной на рис. 3-4.5.

1500

Рис. 3-4.5.

Сетка квадратная, т. е. Дл; = At/ = 0.02 м. Условия на левой границе от точки G до следующей нижней точки имеют вид

:300°С, Л = 2бОВт/м2.Х А; = 5Вт/м.°С.

и-WcM-и

Рис. 3-4.6. Для горячего газа: hg = 1000 Вт/м2.°С, Tg = 2000 °С; дляохлаждаемой поверхности канала: h = 8000 Вт/м.С, Ть = 60X.

решения этой задачи на ЭВМ методом Гаусса - Зайделя с последовательной верхней релаксацией. Особое внимание обратите на уравнения на границе области. Положите шаг сетки равным 2 см (Ах = Ау), в результате получите сетку 6X11.

(a) Вычислите стационарное поле температуры.

(b) Вычислите скорость теплопередачи на верхней стенке и проверьте, как близко она совпадает с теплом, снимаемым охладителем.

(c) При одном и том же условии сходимости итераций проведите расчеты для трех различных значений релаксационного параметра ю. Если вы можете использовать больше времени ЭВМ, то проведите более подробный поиск оптимального значения этого параметра coopt.

4.41. Решите задачу 4.40, используя метод итераций по строкам.

4.42. Решите задачу 4.40. используя неявный метод переменных направлений.

4.43. Используйте схему Лакса для решения невязкого уравнения Бюргерса на сетке, содержащей 51 узел в направлении оси х. Решите уравнение для движущегося вправо разрыва, если м = 1 в первых 11 узлах сетки и tt = О в остальных узлах. Повторите расчеты при числах Куранта, равных 1.0, 0.6, 0.3, и сравните полученные численно решения с аналитическим решением в те же моменты времени.

4.44. Повторите задачу 4.43, используя схему Мак-Кормака. Примените оба варианта этой схемы с чередованием на шагах предиктор и корректор производных вперед - назад и назад - вперед.

4.45. Повторите задачу 4.43, используя схему Уорминга - КатлераЛомакса.

4.46. Повторите задачу 4.43, используя схему Бима - Уорминга.

(a) Используя метод контрольного объема, найдите приближенное разностное уравнение для температуры границы в точке G,

(b) Построив подходящий конечно-разностный аналог уравнения Лапласа, найдите стационарное распределение температуры итерационным методом Гаусса - Зайделя.

4.39. Решите задачу 4.38, используя метод итераций по строкам.

4.40. Пусть в стационарном случае требуется оценить распределение температуры в двумерной стенке камеры сгорания. Для такого предварительного анализа ее форма упрощена и показана на рис. 3-4.6. Напишите программу

Горячий газ

ооооооооооооооооооооооооооооо :