«9 = lim > --т- = -.

4.47. Найдите решение невязкого уравнения Бюргерса для течения с разрежением. Начальные условия заданы так: и = О в первых 21 узлах разностной сетки и и = 1 всюду вне этих узлов. Примените оба варианта схемы Мак-Кормака с чередованием на шагах предиктор и корректор производных вперед - назад и назад - вперед. Сравните результаты, полученные при двух различных числах Куранта, с точным аналитическим решением.

4.48. Повторите задачу 4.47. используя центрированную по времени схему Бима - Уорминга и неявную схему Эйлера.

4.49. Решите уравнение Бюргерса для неподвижного разрыва в вязкой жидкости. Начальные условия заданы так: и == \ в левой граничной точке, и = - 1 в правой граничной точке и « = О в остальных точках. Используйте для решения этой задачи схему Мак-Кормака.

4.50. Повторите задачу 4.49, используя схему Бима - Уорминга.

4.51. Постройте графически точное стационарное решение уравнения (4.158) с граничными условиями u{Oyt) = 1, u{Ut) =0 при [г = 0,1.

4.52. Проверьте, что соотношение (4.169) является точным стационарным решением уравнения (4.168).

4.53. Найдите условия устойчивости разностной схемы, полученной при решении одномерного линейного уравнения Бюргерса методом ВВЦП.

4.54. Найдите условия устойчивости схемы с разностями против потока (4.186).

4.55. Используя метод ВВЦП для решения линейного уравнения Бюргерса с начальным условием «(л:, 0)=0, OJfl, и граничными условиями «(0,0= 100. tt(l,/)= О на разностной сетке, состоящей из 21 узла, найдите стационарное решение при следующих значениях параметров:

(a) г = 0.50, v = 0.25;

(b) г = 0.50, v=1.00;

(c) г = 0.10, V = 0.40;

(d) г = 0.05, V = 0.50

и сопоставьте результаты численных расчетов с точным, решением.

4.56. Повторите задачу 4.55, используя схему (4.188).

4.57. Повторите задачу 4.55, используя схему «чехарда» Дюфорта - Франкела.

4.58. Повторите задачу 4.55, используя схему Аллена - Чена.

4.59. Определите методом Неймана условия устойчивости разностной схемы (4.188).

4.60. Найдите модифицированное уравнение для схемы Аллена -Чена, сохранив члены до Uxxx включительно.

4.61. Используйте схему Браиловской для решения линейного уравнения Бюргерса на приведенной на рис. 3-4.7 сетке и покажите, что стационарное значение и при / == 2 равно

Граничные условия имеют вид м5 = 3/2 = «з, а начальное условие имеет вид «2 = 1. Для решения этой задачи использовать ЭВМ не надо.

4.62. Используйте схему Бима - Уорминга с аппроксимацией производных по времени неявным методом Эйлера для решения линейного уравнения Бюргерса на сетке, изображенной на рис. 3-4.8. Определите стационарные

1

\\\\\\\\ 3

Рис. 3-4.7. с = 1 м/с, ц = 1/3 mVc V = 1, Ajf = 1 м.

wwwwwwww j=i г 3 4

Рис. 3-4.8. с = 2 м/с, i = 2 mVc Ajc = 1 м.

значения и при / = 2 и / = 3. Граничные условия имеют вид «f =г li «4 = 4> а начальные условия - вид = О = «3. Для решения этой задачи использовать ЭВМ не надо.

4.63. Примените двухшаговую схему Лакса - Вендроффа к уравнению в частных производных

где F == F{u). Получите конечно-разностные уравнения.

4.64. Решите линейное уравнение Бюргерса. используя (а) схему ВВЦП, *{Ь) схему с разностями против потока (4.186), (с) схему Леонарда (4.188). Пусть задано начальное условие м(а:, 0) = О, О < л: < 1, а граничные условия имеют вид «(0,0= 100, u{lj)=0. Расчет проведите на сетке, состоящей из 21 узла. Найдите стационарное решение при г = 0.10 и v = 0.40. Сопоставьте численное и точное решения.

4.65. Повторите задачу 4.64, используя следующие схемы: (а) схему «чехарда» Дюфорта - Франкела, (Ь) схему Аллена - Чена, (с) схему Мак-Кормака (4.198).

4.66. Повторите задачу 4.64. используя схему Брили - Макдональда с аппроксимацией производных по времени неявным методом Эйлера.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К УРАВНЕНИЯМ ГИДРОДИНАМИКИ и ТЕПЛООБМЕНА

Глава 5

Основные уравнения механики жидкости и теплообмена

В этой главе речь пойдет об основных уравнениях механики жидкости, и теплообмена (т. е. динамики жидкости). Мы полагаем, что читатель имеет некоторое начальное представление об обсуждаемых в данной главе вопросах, поэтому не приводим подробного вывода уравнений. Уравнения рассматриваются в порядке убывания сложности. В большинстве случаев приво-. дятся только общепринятые формы записи. В последующих главах будут представлены другие формы записи основных уравнений динамики жидкости, спеццально упрощенные для целей вычислений. В эту главу включен также раздел, являющийся вве= дением в моделирование турбулентности.

§ 5.1. Основные уравнения

Фундаментальные уравнения динамики жидкости основаны на универсальных законах сохранения: сохранения массы, сохранения количества движения и сохранения энергии. Уравнение, получающееся в результате применения закона сохранения массы к потоку жидкости, называется уравнением неразрывности. Закон сохранения количества движения -это второй закон Ньютона. Его применение к потоку .жидкости дает векторное уравнение, известное как уравнение количества движения или как уравнение импульса. Закон сохранения энергии тождествен первому закону термодинамики и в динамике жидкости уравнение, являющееся его выражением, называется уравнением энер-