гии. Для замыкания системы к уравнениям, полученным из упомянутых выше законов сохранения, следует добавить соотношения, устанавливающие связь между свойствами жидкости. Примером такого соотношения может быть уравнение состояния, связывающее термодинамические параметры жидкости: давление Ру плотность р и температуру Т.

Исторически сложились два подхода к получению уравнений динамики жидкости: феноменологический и использующий кинетическую теорию. В первом случае постулируются определенные соотношения между механическим напряжением и скоростью деформации, между потоком тепла и градиентом температуры, после чего урабнения динамики жидкости выводятся из законов сохранения. Требуемые константы пропорциональности "между напряжением и скоростью деформации и между потоком тепла и градиентом температуры (называемые коэффициентами переноса) в этом подходе должны определяться экспериментальным путем. Во втором подходе (называемом еще математической теорией неоднородных газов) уравнения динамики жидкости получают с коэффициентами переноса, которые определяются в рамках некоторых интегральных соотношений, возникающих при рассмотрении динамики сталкивающихся частиц. Слабая сторона этого подхода состоит в том, что при вычислении интеграла столкновения необходимо определить силы взаимодействия между частицами. Таким образом, неопределенность феноменологического подхода, обусловленная экспериментом, сменяется неопределенностью математического свойства в кинетическом подходе. Эти два подхода приведут к одним и тем же уравнениям динамики жидкости, если при их выводе делаются равнозначные допущения.

Мы не будем здесь выводить основные уравнения динамики жидкости. Вывод вы найдете в монографиях Шлихтинга (феноменологический подход) [Schlichting, 1968] и Гиршфельдера (кинетическая теория) [Hirschfelder et al., 1954]. Мы же приведем уравнения для случая однородной жидкости без диффузии и химических реакций, протекающих с конечной скоростью. Для включения этих эффектов необходимо рассматривать уравнения неразрывности для каждой из компонент реагирующего газа, а в уравнение энергии добавить диффузионные члены. Подробные сведения о течениях с химическими реакциями можно найти в книге Дорранса [Dorrance, 1962].

5.1.1. уравнение неразрывности

Применяя закон сохранения массы к жидкости, протекающей через фиксированный бесконечно малый контрольный объем

Контрольная поверхность

Рис. 5.1. Контрольный объем при использовании подхода Эйлера.

контрольного объема за единицу времени, отнесенный к единице объема. Удобно воспользоваться понятием субстанциональной производной

- + V-V( ) (5.2)

для преобразования уравнения (5.1) к виду

+ p(V.V) = 0. (5.3)

Уравнение (5.1) было выведено с использованием подхода Эйлера, В этом подходе фиксируется контрольный объем и рассматривается баланс жидкости, протекающий через его поверхность. В альтернативном подходе Лагранжа изменения свойств некоторого жидкого элемента фиксируются наблюдателем, движущимся вместе с этим элементом. Обычно в задачах механики жидкости подход Эйлера удобнее.

В декартовой системе координат, где и; v, w суть компоненты скорости по осям X, у, г, уравнение (5.1) принимает вид

t-ir (Р«) + W (Р) + W W = о • (5.4)

(рис. 5.1), получим уравнение неразрывности

- + V.(pV) = 0, (5.1)

где р - плотность жидкости, а V - ее скорость. Первый член этого уравнения дает увеличение плотности в контрольном объеме за единицу времени, второй - поток массы через поверхность

дх ду дг

Для воздуха при V < 100 м/с или М < 0.3 предположение о несжимаемости жидкости является хорошим приближением.

5.1.2. Уравнение количества движен!

Применение второго закона Ньютона к жидкости, протекающей через бесконечно малый фиксированный контрольный объем, приводит к уравнению количества движения

А (pV) + V . pVV = pf + V . П,,. (5.8)

Первый член этого уравнения дает отнесенное к единичному объему изменение количества движения в контрольном объеме за единицу времени. Второй член есть отнесенное к единичному объему изменение количества движения в контрольном объеме за счет конвекции в единицу времени. Заметим, что pVV - тензор, поэтому V-pVV не есть просто дивергенция. Однако этот член можно разложить на два слагаемых:

V . pVV = pV . VV + V (V • pV). (5.9)

Когда это выражение подставляется в уравнение (5.8), то с использованием уравнения неразрывности последнее упрощается и уравнение количества движения принимает вид

РбГ = Р+-П„. (5.10)

Первый член в правой части уравнения (5.10) есть отнесенная к единице объема массовая сила. Массовые силы действуют на расстоянии и приложены ко всей массе тела. Чаще всего это - сила тяжести. Тогда сила f, отнесенная к единичной массе, просто равна ускорению свободного падения g:

pf = pg. (5.11)

Заметим, что уравнение (5.4) записано в форме закона сохранения (дивергентной форме).

Жидкость, плотность которой остается постоянной, называется несжимаемой. Математически это означает, что

1 = 0. (5.5)

Тогда уравнение (5.3) сводится к уравнению

V.V = 0 (5.6) или для декартовой системы координат

"+ + = 0. (5.7)