Следовательно, любое невырожденное преобразование переменных не меняет тип дифференциального уравнения.

2.3.1. Гиперболические уравнения в частных производных

Для приведения гиперболического уравнения в частных производных к характеристической форме (2.22) перейдем к переменным I, т], являющимися корнями уравнений А = О и С = 0. Первое из этих уравнений имеет вид

или, разделив на 1у Ф О, имеем

«(17)+ 17 + = 0. (2.27)

Рассмотрим поверхности (л:, у) = const. На этих поверхностях

т. е. \х1\у = -dy/dx. Подстановка этого выражения в (2.27) приводит к уравнению характеристик

Найдем корни этого уравнения:

-Та-• (2-2)

Поверхности (х, у) = const и т] (х, у) = const определяются из решения двух полученных обыкновенных дифференциальных уравнений (2.28). Найденные таким образом функции и т] называются характеристиками уравнения (2.15). Выбирая их в качестве независимых переменных, можно привести исходное уравнение в частных производных к виду (2.22), которое поэтому и называется характеристической формой гиперболического уравнения.

Замена искомой функции ф на Ф позволяет в случае постоянных коэффициентов а, by с, d и е преобразовать уравнение (2.15) к канонической форме [Gary, 1969]

Фи"-Фг1, = Л(ФЛ, л). (2.29)

Причем

Проинтегрировав эти обыкновенные дифференциальные уравнения, получим

x + t = l л: - = Т1.

Перейдем к переменным , Так как

tt = Фц - 2n + Фт>

ФххФц + Щг + Фт.

то ф=о. Таким образом, мы нашли характеристическую форму волнового уравнения. Приведем пример, показывающий преимущества этой формы записи волнового уравнения.

Пример 2.5. Решить волновое уравнение

utt-cux (2.32)

в области -оо<л:<+(Х)с начальными условиями

и(х, 0) = f{x\ 0) = gr(jc).

Решение. Перейдя к характеристическим переменным, получим UTi = 0. Здесь g = X + Т1 = X - с.

Решение этого уравнения определяется последовательным интегрированием и имеет вид

и [х, t) = (X + ct) + F, {X ctl (2.33)

Пусть Xi и 2 -корни характеристического уравнения аК - - ЬК -\- с = 0, Преобразование переменных

позволяет исключить из уравнения член со смешанной производной. Для исключения членов, содержащих первые производные, проведем замену искомой функции по формуле

ф = (2.30а)

Подходящим выбором аир (см. задачу 2.5) можно привести уравнение (2.15) к виду (2.29). Проиллюстрируем переход к характеристическим переменным на примере волнового уравнения

Фи-Ф.. = 0. (2.31)

Здесь а = 1, 6=0, с = -1, поэтому уравнения (2.28) сводятся к уравнениям

Это решение называют решением Даламбера волнового уравнения [Wylie, 1951]. Конкретный вид функций Fi и F2 определяется начальными условиями

Щ{ху 0) = g(x) = cF[{x)-cF,{x). Теперь можно выписать решение поставленной задачи:

x+ct

fi±lll±LSl + \ g,)dr. (2.34)

и{х, 0 =

x-ct

Используем это решение для иллюстрации основных свойств гиперболических уравнений в частных производных. На рис. 2.6

Рис. 2.6. Характеристики волнового уравнения.

показаны характеристики, проходящие через точку (лсо, to). Тангенс угла наклона правой характеристики равен 4-(1А)» а тангенс левой равен -{1/с). Решение u{x,t) в точке {xoyto) зависит лишь от начальных значений в интервале Хо - do х Хо+ cto Первое слагаемое в решении (2.34) описывает перенос начальных данных вдоль характеристик, а второе -вклад начального распределения на конечном замкнутом интервале (отрезке).

Тродемонстрированная в примере 2.5 ограниченность области зависимости решения является характерной особенностью гиперболических уравнений в частных производных. В этом примере область зависимости ограничена характеристиками, проходящими через точку (хо, to) у так как решение в этой точке определяется лишь условиями на ограниченном этими характеристиками интервале. Это означает, что никакое возмущение, возникающее вне указанного интервала, не может влиять на решение в точке (ло, о). Это свойство решений характерно для всех

2 д. Андерсон и- др. Том 1