Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Второй член в правой части уравнения (5.10) дает отнесенные к единице объема поверхностные силы. Эти силы суть механические напряжения, действующие на выделенный жидкий объем со стороны внешней по отношению к нему жидкости. Они образованы нормальными и сдвиговыми напряжениями и задаются компонентами тензора напряжений Ш/.

Приведенное выше уравнение выписано для общего случая и пригодно как для течений с разрывами, так и без таковых. Но, как только для тензЪра напряжений мы принимаем какую-либо аппроксимацию, уравнение (5.8) теряет свою общность. Для всех газов, которые можно считать сплошной средой, и большинства жидкостей замечено, что напряжение в некоторой точке линейно зависит от скорости деформации жидкости. Такая жидкость называется ньютоновской. При этом допущении можно вывести [Schlichting, 1968] общий закон деформации, который связывает тензор напряжений с давлением и компонентами скорости. В тензорных обозначениях он записывается в виде

Щ=-Ри + \{Ц + ) + (и\ж > и *=1, 2, 3,

(5.12)

где б --символ Кронекера (в =1, если i = }, и 6=0, если

i¥=j); Uu U2y Uz - компоненты вектора скорости V; Хи хг, хз - координаты радиус-вектора точки; [i - коэффициент динамической вязкости; - второй коэффициент вязкости. Эти два коэффициента вязкости связаны с коэффициентом объемной вязкости X выражением

х = 2/зЦ + (1. (5.13)

Обычно коэффициент объемной вязкости полагают пренебрежимо малым, за исключением тех случаев, когда изучается структура ударных волн, а также поглощение и затухание акустических волн. Поэтому в дальнейшем мы будем им пренебрегать. При X = О второй коэффициент вязкости станет равным

li=-73li, (5.14)

а тензор напряжений можно записать как

. - p. + [&; + yWl А = Ь 2.3-

(5.15)

Тензор напряжений разделяют часто на две части:

П<у = -рб,, + %, (5.16)



где т -тензор вязких напряжений, задаваемый выражением

""" /, /, й=1, 2, 3. (5.17)

/ди, dUf\ 2

Подставляя (5.15) в (5.10), получаем известное уравнение Навье-Стокса

(5.18)

В декартовой системе-координат имеем три скалярных уравнения Навье -Стокса:

Du с др . д [2 ди до dw \] ,

Р-оГ--р--ж +-ж-Lт(2 лг-17-"ЭгЛ +

, д г г ди , dv \-\ , д Г С dw , ди\-\ Г с dv , ди \-l ,

Dv „j dp , д

(5.19)

(Эу 13 1" (Эу (Эс 52 Л "Т" ду )Г

Dw f 5/> I д Г f dw , ди\

, (Э г 2 /„ 5ш 5« dv \ ~dl 13 К" Ж ~ Ж ~lif).

, d Г ( dv , dwW .

+ 1FL4if + 17Jj +

Имея в виду (5.8), эти уравнения можно переписать в дивергентной форме

14- (Р« + Р - т..) + k<?uv - т,,) + "(риш - т,,) = р/,.

dt dpv

(5.20)

+ (риш - T,,) + (pt-ш - V) + (рш2 + p - T«) = p/„

где компоненты тензора вязких напряжений задаются выражениями

\ r dw . ди \

\ / dv . dw\



Уравнения Навье -Стокса образуют ту базу, на основе которой была развита полная теория вязких течений. Строго говоря, термин уравнения Навье -Стокса относится к проекциям уравнений движения (5.18) на оси координат. Однако в систему уравнений Навье - Стокса включают еще и уравнения неразрывности и энергии.

Течение несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости \х описывается упрощенной формой уравнения (5.18), а именно

P=P*P + • (5.21)

Необходимо помнить, что уравнение (5.21) получено в предположении постоянной вязкости, которое может оказаться неоправданным для неизотермических течений, когда вязкость сильно зависит от температуры. С другой стороны, вязкость газов обнаруживает умеренную зависимость от температуры и уравнение (5.21) хорошо описывает течение несжимаемого газа.

5.1.3. Уравнение энергии

Применение первого закона термодинамики к жидкости, протекающей через бесконечно малый фиксированный объем, приводит к уравнению энергии такого вида

+ V-£,V = -V.q + pf.V + V.(n,,.V), (5.22)

где £ -полная энергия единицы объема, задаваемая выражением

/ = р( + -+ потенциальная энергия + (5.23)

и в -внутренняя энергия единицы массы. Первый член в левой части уравнения (5.22) есть изменение полной энергии единицы контрольного объема в единицу времени, тогда как второй - изменение полной энергии за счет конвекции через контрольную поверхность (в единицу времени и отнесенная к единице объема). Первый член в правой части уравнения (5.22) есть скорость тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема, а второй член (V-q) - тепловые потери за счет теплопроводности через контрольную поверхность в единицу времени (отнесенные к единице объема). Закон Фурье для переноса энергии за счет теплопроводности гласит, что поток тепла-выражается через градиент температуры следующим образом:

q = vr, (5.24)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124