где - коэффициент теплопроводности и Г -температура. Третий член в правой части (5.22) есть отнесенная к единице объема работа массовых сил, совершаемая над контрольным объемом. Четвертый - отнесенная к единичному объему работа поверхностных сил, совершаемая над контрольным объемом. Очевидно, что уравнение (5.22) есть просто первый закон термодинамики, записанный для контрольного объема, т. е. изменение энергии системы равно подводимому к системе теплу плюс совершаемая над системой работа массовых и поверхностных сил.

В декартовой системе координат уравнение (5.22) запишется в дивергентном виде

+ {EtU + ри - ихх - Vry - WXxz + дх) +

+ "It + - "-г/ - у» - уг + Яу) +

+ {EtW Л-PW - ихг - VXyz - ОУТгг + Яг) = 0. (5.25)

с использованием уравнения неразрывности левую часть уравнения (5.22) можно заменить выражением

p-g-(£,/p) = + V.£,V, (5.26)

которое тождественно следующему:

р 4 {ЕМ = р 1 + р-- (V72). (5.27)

если в качестве основных переменных в (5.23) рассматривать внутреннюю и кинетическую энергии, рбразуя скалярное произведение из векторного уравнения (5.10) и вектора V, получим

P-Sf-V = pbV-Vp.V + (V.T,;).V. . (5.28)

Комбинируя (5.26) -(5.28), получим еще одну полезную форму записи уравнения энергии

p-§f- + p(V. V) = ---V.q + V.(т,/.V)-(V.т,,).V. (5.29)

Последние два члена этого уравнения могут быть объединены в один, так как

/"e7 = -(/")-(/)-V. (5.30)

5.1.4. Уравнение состояния

Для замыкания системы уравнений динамики жидкости необходимо установить связь между термодинамическими переменными Ру р, Ту ву Л, а также соотношение между коэффициентами переноса Л и термодинамическими переменными р, р, 7, еу Л. Для примера рассмотрим течение сжимаемой жидкости без подвода тепла извне в отсутствие массовых сил. Воспользуемся уравнением неразрывности (5.4), тремя уравнениями движения (5.19) и уравнением энергии (5.25). Эти пять скалярных уравнений содержат семь неизвестных р, р, е, Г, а, t;, w при условии, что коэффициенты переноса k можно связать с термодинамическими величинами из числа неизвестных. Очевидно, что для замыкания системы нам необходимы еще два уравнения. Их можно получить, устанавливая существующие соотношения между термодинамическими переменными. Соотношения такого рода известны как уравнения состояния. Как известно, локаль-

Его обычно называют диссипативной функцией Ф, которая есть тепловой эквивалент механической мощности, затрачиваемой в процессе деформации жидкости вследствие вязкости. После введения диссипативной функции уравнение (5.29) принимает вид

р-§Г + /(V) = ~V.q + 0. (5.31)

Вводя энтальпию

h = e + p/p (5.32)

и используя уравнение неразрывности, перепишем (5.31) в виде

9Ж = Т + -Ч + Ф- (5-33)

В декартовой системе координат диссипативная функция, которая всегда положительна, если р, =-(2/3х, задается следующим выражением:

= [2 т+2 т+2 т+(-++

Если жидкость несжимаемая и коэффициент теплопроводности постоянный, то (5.31) сводится к уравнению

•Р-5Г4г + Г + Ф. (5.35)

ное термодинамическое состояние системы определяется любыми двумя независимыми термодинамическими переменными при условии, что химический состав жидкости не меняется из-за диффузии или химических реакций. Так, если в примере за независимые переменные мы примем в и р, то нам потребуются уравнения состояния типа

р = р{е,р), Г = р). (5.36)

Примером уравнения состояния является уравнение совершенного газа

P = 9RTy (5.37)

где 7? -газовая постоянная. Для совершенного газа имеются также следующие соотношения:

с Y

e = cjy h = CpTy Y = -~-. . = -Г p = YZrr. (5.38)

где Си -удельная теплоемкость при постоянном объеме, Ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении и у = Cp/Cv - отношение удельных теплоемкостей. Для воздуха в обычных условиях = 287 ы/с-К и -у = 1.4. Если в нашем примере жидкость есть совершенный газ, то соотношения (5.36) примут вид

p = (Y-l)pe, Г = -51. (5.39)

Для жидкостей, которые нельзя считать совершенным газом, требуемые соотношения состояния могут быть заданы в виде таблиц, карт или графиГеских зависимостей.

Зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от термодинамических величин устанавливается при помощи кинетической теории. Формула Сазерленда есть пример такого соотношения

гЗ/2

где Ci и Сг - постоянные для данного газа. Для воздуха при умеренных температурах Cj = 1.458 • 10"® кг/(м • с • VK ) и Сг = 110.4 К. Для определения коэффициента теплопроводности k по известному \i часто используется число Прандтля:

PT = Cp\i/k. (5.41)