5.1.5. Векторная форма записи уравнений

Перед составлением конечно-разностных схем часто бывает удобно записать уравнения динамики жидкости в компактной векторной форме. Например, уравнения Навье -Стокса для сжимаемого газа в случае отсутствия массовых сил и подвода тепла извне в декартовых координатах можно записать так:

dt дх ду дг где векторы U, Е, F и G задаются следующим образом:

(5.43)

(5.44)

ри pi/2 + р - х,

и = pv , Е = PUV - Хху

pw pUW - Xxz

Et {Et + p)u - их,, - vx,y - wx,z + gx

. pUV - Xyy

F = pv + p - yy

PVW Xyz

{Et + p)v - их,у - vxyy - wxy + Яу pw

PUW - T;,2

G = pvw - Xyz

pw + p -

{Et + p)w - UX,z - VXy;, - WXzz +

Первая строка векторного уравнения (5.43) соответствует уравнению неразрывности в форме (5.4), вторая, третья и четвертая-уравнению движения (5.20), а пятая -уравнению энергии (5.25). С записанными в такой форме уравнениями Навье - Стокса зачастую легче работать при составлении конечно-раз-

Это возможно, так как отношение Ср/Рг, возникающее в выражении

k = {c/Pr)iiy (5.42)

приблизительно постоянно для большинства газов. Для воздуха при обычных условиях Рг = 0.72.

ностных схем. Другие уравнения динамики жидкости, записанные в дивергентной форме, также могут быть представлены в векторной форме.

5.1.6. Безразмерный вид уравнений

Уравнения динамики жидкости часто приводят к безразмерному виду. Преимущество такой формы записи в том, что такие характеризующие течения параметры, как число Маха, число Рейнольдса, число Прандтля и другие, могут варьироваться независимым образом. К тому же после приведения уравнений к безразмерному виду параметры потока «нормализуются», так что их величины изменяются в обозначенных пределах, например между О и 1. Возможны разные процедуры обезразмеривания. Например, .

где безразмерные переменные обозначены звездочкой, параметры невозмущенного потока - значком оо и L - характерная длина, входящая в безразмерный комплекс числа Рейнольдса

Если эту процедуру применить к уравнениям Навье - Стокса для сжимаемого газа (5.43) и (5.44), то получим следующие безразмерные уравнения:

"Г л„« ~Г

ду* + д Р

р-ы-

p-t-* рш*

= 0,

(5.45)

р и V - т р*иЪ*

/ г-1* *\* *¥ ** т * t *

(5.46)

F* =

* * « *

9VW -Ху

« *2

; = p.(,. + if±4±£:l).

Компоненты тензора напряжений и вектора теплового потока в безразмерном виде суть

УУ =

/о

3 Re

2ц* ду- ди* 3 Re 1 <Эг/* дл:

2ц* /9 jolffi;; 3 Re дг* дх*

ц* (ди" . дУ*\ \ ду* дх*}

dw* \ дг )

dw*\ дг* )

ду* \ ду*)

Re Re Re

[£ fdu* , dw*\ RGj \ dz* dx* )

(5.47)

dv* dz*

dw* ду*