238 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен определяются как f == pf/p, т. е.

9 Р Р Р Р Р

(5.64)

Отметим, что так осредняются только компоненты скорости и тепловые переменные. Плотность и давление осредняются прежним образом.

Перед подстановкой в уравнения определим новые изменяющиеся величины

ti = u + u, v = v + v, w = w + w\

(о.оо)

h = h + h\ Т = Т + Г\ Н = Н + Н.

Заметим что осредненные по времени пульсации с двумя штрихами v и т. д.) а общем случае отличным от нуля, если только Ф 0. В самом деле, можно показать, что и" = -pV/p, у = -Ру7р и т. д. Зато среднее по времени от произведения пульсации с двумя штрихами и плотности равно нулю:

рГ0. (5.66)

Это можно легко показать, раскладывая р/ = р (f + У) и используя определение f.

5.2.3. Уравнение неразрывности в форме Рейнольдса

Начнем с уравнения неразрывности, записанного в декартовой системе координат. Сначала представим все переменные в виде суммы осредненных по времени величин и пульсаций [уравнение (5.61)].

После осреднения по времени всего уравнения с учетом соглашения о суммировании имеем

1++ж-+ (3)+ir (g)+(53 - »•

Т О о • о

(5.67)

Три члена равны нулю в соответствии с тождеством (5.62). Итак, уравнение неразрывности в форме Рейнольдса при осреднении переменных обычным способом имеет вид

f+ (Р«/-Ь>=0- (5-68)

Производя в уравнении (5.4) замену переменных на осредненные с весами переменные плюс пульсации с двумя штри-

И) + ж-(рЧ) = жгр"/-

Это позволяет записать уравнение неразрывности для осреднен-ных с весами переменных в виде

1 + ж7(р«/) = 0- (5.70)

Эта запись более компактна, чем уравнение (5.68). В случае несжимаемой жидкости р = 0 и различие между переменными, осредненными обычным способом и с весами, пропадает, тогда

dUf/dXf = 0. (5.71)

5.2.4. Уравнения движения в форме Рейнольдса

Уравнения движения в форме Рейнольдса получаются наиболее просто, если исходить из уравнений Навье - Стокса. записанных в дивергентной форме (5.20). Заменим в (5.20) зависимые переменные на осредненные по времени значения плюс пульсации в соответствии с (5.61). Рассмотрим, например, проекцию уравнения (5.20) на направление х, пренебрегая массовыми силами:

[(р + Ш + и)] + -§[(9 + рО {и + и) {й + и) +

+ {р + рО - J + [(р + рО {й + и) {V + V) - ХуА +

+ [(р + рО (й + и) (w + шО = 0.

Затем все уравнение осредняется. Линейные относительно пульсаций члены при осреднении по времени обращаются в нуль, как и в случае уравнения неразрывности. Таким путем мы избавляемся от нескольких членов, некоторые другие группируются и обращаются в нуль с учетом уравнения неразрывности,

хами в соответствии с уравнением (5.65) и осредняя по времени полученное уравнение, получим

(5.69)

Два члена этого уравнения тождественно обращаются в нуль. Кроме этого, два последних члена можно объединить в один, который будет равен нулю в соответствии с равенством (5.66):

В результате проекцию уравнения движения в форме Рейнольдса на направление х можно записать

т + pV) + т + йри) + {puv + upv) +

„ dp

K2r--&)-«-P-p"] +

dx д

(if + If) - - p" - p«] +

, d г du . dw \ -7-y --7-г -7-7-7l /-

+ KdF + ж) J • (5.72)

Полностью (все три компоненты) уравнения движения в форме Рейнольдс1а могут быть записаны как

(р«, + рХ) + ж7(р«Л + «.р«;)-=

- "/рХ) - р<«; - рх«;). (5-73)

(5.74)

Чтобы получить уравнение движения в форме Рейнольдса для осредненных с плотностью в качестве весовой функции переменных, воспользуемся разложением (5.64) для представления мгновенных значений переменных. Для примера рассмотрим л:-проекцию уравнения (5.20):

[(р + Р) (й + «")] + [(Р + Р) (й + и") (й + и") +

+ {р + р) - + [(Р + Р) (« + и") {V -h V") - V] +

+ [(Р + Р) (й + и") (ш + ш") - т,,] = 0. (5.75)

Затем уравнение осредняется по времени с использованием тождества (5.66), что приводит к уменьшению количества членов в нем. Уравнения движения в форме Рейнольдса. для всех трех проекций будут выглядеть так:

(Рй,) + -Щ (РЙЛ) = - + 7 ("7 - (5.76)