Пренебрегая пульсациями вязкости, для т,/ получим

. dxj dxiJ 3 °Ч дхк J

(5.77)

Вид уравнения движения при осреднении с весами проще, чем при обычном осреднении. Заметим, однако, что, даже если пренебрегать пульсациями вязкости, выражение для f ij (5.74) проще в случае обычного осреднения (5.77). На практике вязкие члены, включающие помеченные двумя штрихами пульсации, считаются малыми, и ими можно пренебречь при оценке порядков величин.

Для несжимаемой жидкости уравнение движения можно записать в более простой форме:

ж (Р«0 + Ж7 = - Й- + Ж7 - Р") (5.78)

где Xij вычисляется по упрощенной формуле:

Как и в случае уравнения неразрывности, здесь уже нет различия между способами осреднения переменных (обычное осреднение и осреднение с весовой функцией).

5.2.5. Уравнения энергии в форме Рейнольдса

Тепловые параметры Я, А, Т связаны друг с другом, и уравнение энергии принимает различный вид в зависимости от того, какой из них считается независимой величиной. Чтобы получить общее выражение, начнем с уравнения энергии в виде (5.22). Членом dQ/dty связанным с тепловыделением внешних источников, будем пренебрегать. Полагая, что полная энергия состоит из внутренней и кинетической энергий, и заменяя Et на рЯ - р, можно переписать (5.22) с учетом суммирования по повторяющимся индексам:

А. рЯ + (Р«/Я + щх,1) = . (5.80)

Чтобы получить уравнение Рейнольдса для энергии при обычном осреднении величин, заменим мгновенные значения величин

В уравнении (5.80) на суммы (5.61). После осреднения по времени имеем

--(рЯ +/Я) +(рй,Я + р

dp д [ / 2 дйь\ Г дй: дй.\

- т>б.«: +ч< W+жг) J • (5.81)

Часто желательно иметь в уравнении энергии в качестве независимой величины статическую температуру. Положим h - = СрТ и запишем уравнение (5.33) в дивергентной форме

(рс/) + (рСр«,Г ) = f - + + Ф. (5.82)

Диссипативную функцию Ф можно выразить через компоненты скоростей:

Переменные в уравнении (5.82) представляются в виде суммы (5.61) и получаемое уравнение осредняется. С учетом обращения в нуль некоторых членов уравнение энергии в форме Рейнольдса принимает вид

dxf \ dxf

+ 7(*-РР";~РЧ0 + (5.84)

Ф = т

if dxf ii dxf "z dxj •

r дщ

(5.85)

В уравнении (5.85) хц следует рассчитывать по формуле (5.74).

Чтобы получить уравнение энергии в форме Рейнольдса при осреднении с весами, заменим переменные в уравнении (5.80) разложением (5.64), а затем произведем осреднение по времени.

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 243

Результат можно записать как

-=Ж + («*.7 + <Ч). (5-86)

где т задается формулой (5.77).

Уравнение i ейнольдса (5.86) можно переписать для статической температуры

+ (* + ff-P") + *. (5.87)

- ди,

= чЖ;->Жf + -дii (5.88)

В несжимаемой жидкости уравнение энергии для полной энтальпии имеет вид

И для статической температуры - вид

где диссипативная функция Ф упрощается вследствие обращения в нуль члена, яел5чощсгося объемным расширением жидкости, в выражении для Т .

5.2.6. Замечания к уравнениям Рейнольдса

На первый взгляд уравнения Рейнольдса выглядят довольно сложно, и мы вправе задаться вопросом, продвинулись ли мы вперед по пути решения практических задач расчета турбулентных течений. Главная трудность в задачах механики жидкости состоит в том, что мы имеем большее число уравнений, чем можно решить. К счастью, для многих практически важных течений уравнения Рейнольдса можно упростить. Прежде чем заняться