упрощением, продолжим дальнейшее рассмотрение уравнений Рейнольдса.

Обратимся к рассмотрению турбулентного течения несжимаемой жидкости и дадим интерпретацию членов уравнения движения в форме Рейнольдса (5.78). Это уравнение описывает осредненное по времени течение жидкости и наряду с обычными членами, описывающими перенос импульса и ламинарноподоб-ные напряжения, имеет ряд новых членов с пульсациями величин, которые и представляют кажущиеся турбулентные напряжения. Эти кажущиеся турбулентные напряжения возникают в уравнениях Навье - Стокса в членах, которые дают перенос импульса. Другими словами, уравнение осредненного движения связывает ускорение жидкой частицы с градиентами напряжений. Так как известно выражение для ускорения частицы в ос-редненном движении, то все новое в этом ура;внении должно возникать в градиентах напряжений, обусловленных турбулентным движением. Чтобы показать это, воспользуемся уравнением неразрывности для преобразования уравнения (5.78) к виду

где член слева описывает ускорение частицы в осредненном движении, первый справа - средний градиент давления, второй-ламинарноподобные градиенты напряжений для осредненного движения, третий - градиенты кажущихся напряжений, обусловленные переносом импульса турбулентными пульсациями; (т ),з то же, что и в уравнении (5.79), и имеет в переменных осредненных скоростей тот же вид, что и тензор напряжений для ламинарного течения несжимаемой жидкости. Кажущиеся турбулентные напряжения можно записать как

(*./U = -P- (5-92)

Часто их называют напряжениями Рейнольдса.

Для турбулентного течения сжимаемой жидкости согласование членов, соответствующих ускорению осредненного движения, с кажущимися напряжениями превращается в трудную задачу. При использовании обычной процедуры осреднения наличие членов, подобных рм, может давать поток через поверхность, образованную линиями тока осредненного течения, что не позволяет отнести члены уравнения к той или иной категории. Осреднение с «весами» обращает в нуль члены pV и дает компактное выражение для ускорения частицы, но затрудняет разделение напряжений на чисто ламинарные и кажущиеся турбулентные.

Г / (5 " д \ 2

Как и прежде, при выводе (5.93а) мы пренебрегали пульсациями вязкости. Второй член в выражении для (т )., связанный с молекулярной вязкостью, обычно полагают малым по сравнению с членом -puuf.

Подобный анализ мы можем выполнить для уравнения энергии в форме Рейнольдса и идентифицировать некоторые члены, куда входят пульсации температуры или энтальпии как кажущиеся тепловые потоки. Например, в уравнении (5.84) молекулярный ламинарноподобный тепловой поток есть

-(•qU = () (5.94а)

И кажущийся турбулентный тепловой поток есть

- ( • q)turb = (-PS; - /Щ)- (5-94b)

Другие примеры рейнольдсовых напряжений и тепловых потоков будут приведены в разделах, в которых будут фассмотрены более простые формы уравнений Рейнольдса.

Уравнения Рейнольдса не могут быть решены в том виде, в каком они приведены выше, так как кажущиеся турбулентные

При обычном осреднении пульсационные компоненты Хц пропадают. Этого не происходит при осреднении, «взвешенном» по плотности. Чтобы показать это, преобразуем (5.76) с использованием уравнения неразрывности к виду с полной производной в левой части и указанием происхождения членов уравнения:

где интерпретацию членов слева и первого и второго справа см. в тексте за уравнением (5.91), а третий член справа описывает градиенты кажущихся напряжений, обусловленные турбулентными пульсациями и деформациями вследствие этих пульсаций. Уравнение (5.93а) полностью идентично уравнению (5.91) с той лишь разницей, что вместо ui в нем фигурирует щ. Если предположить, что (xij) имеет тот же вид, что и для ламинарного течения, то вторая половина выражения для т/ в (5.77) должна быть отнесена к турбулентному переносу, что в результате дает

" Г/дй. дй{\ 2 дйи!

напряжения и тепловые потоки следует считать новыми неизвестными. Необходимо установить дополнительные уравнения для этих новых неизвестных или принять какие-то допущения о связи между кажущимися турбулентными величинами и параметрами осредненного потока. Эта процедура известна как задача замыкания, которая будет рассматриваться в моделях турбулентности, обсуждаемых в § 5.4.

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 5.3.1. Некоторые предварительные соображения

Понятие пограничного слоя ввел в 1904 г. Людвиг Прандтль {Prandtl, 1926]. Он исходил из экспериментального наблюдения, что в достаточно большом диапазоне чисел Рейнольдса вблизи твердой стенки имеется тонкий слой, в котором вязкие эффекты столь же существенны, как и инерционные, какой бы малой ни была вязкость. Прандтль пришел к выводу, что можно использовать упрощенные уравнения при соблюдении двух условий: вязкий слой размером б должен быть тонким по сравнению с характерным размером L тела вдоль по потоку (6/L < 1) и главный вязкий член должен иметь тот же порядок величины, что и любой из инерционных членов. Он воспользовался оценкой по порядку величины для уменьшения числа основных уравнений. Главные выводы заключаются в том, что вторыми производными скоростей в продольном направлении можно пренебречь по сравнению с соответствующими производными в поперечном направлении и можно вообще не рассматривать уравнение движения в поперечном направлении.

Аналогичное упрощение может быть произведено и для других течений, в которых можно выделить преимущественное направление. Это -- струи,"следы, слои смешения, развивающиеся течения в трубах и других каналах. Поэтому термины пограничный слой и приближение пограничного слоя трактуются в более широком смысле, что позволяет относить пх к условиям, когда можно вообще не рассматривать уравнение движения в поперечном направлении и в оставшемся уравнении (или уравнениях в трехмерном случае) можно пренебречь членом со второй производной в продольном направлении. В этом более широком смысле эти упрощенные уравнения называются уравнениями тонкого сдвигового слоя. Данный термин кажется более подходящим, особенно для уравнений, описывающих свободные сдвиговые течения, такие, как струи и следы, а также течения вдоль твердых границ. Мы будем использовать оба термина, пограничный слой и тонкий сдвиговый слой, не делая разницы между ними.