5.3.2. Приближение пограничного слоя для стационарного течения несжимаемой жидкости

Методику, используемую для получения приближения пограничного слоя для уравнений Навье - Стокса и Рейнольдса, удобно продемонстрировать на примере стационарного двумерного течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами вдоль изотермической поверхности с температурой 7,,. Прежде всего определим безразмерные переменные

оо «сю ри

е- ~Jf (5.95)

И введем их в уравнения Навье -Стокса. В результате получим Уравнение неразрывности

Уравнение движения по оси х

ди* , * ди* др* , 1 /ди , \ /г-птч

Уравнение движения по оси у

« -дГ+ -дГ- + Re,U.v- + дуЧ- (- Уравнение энергии

где Rei (pUooL)Д1 - число Рейнольдса; Рг = Cp[i/k - число Прандтля; Ее =2(Го - Гоо)/(Г; - Гоо)- число Эккерта; Uoo, Гоо -скорость и температура нсвозмущенного потока соответственно, а Го - температура заторможенного потока. Произведение Re-Pr известно также как число Пекле Ре.

Следуя Прандтлю, предположим, что толщины динамического и теплового пограничных слоев малы по сравнению с характерной длиной в продольном направлении, т. ё. 8/L < I и 8t/L < 1 (рис. 5.5). Положим 86/L и ei - bt/L. Величины е и 8/ обе малы; будем считать, что они одного порядка малости. Если дб/дх и dbi/dx всюду малы, то и е и малы на всей длине L,

На расстоянии L от начала пограничного слоя оценим типичные или ожидаемые величины членов в уравнениях.

Как правило, мы оцениваем величины производных по «среднему значению», которое получают из конечно-разностного соотношения в ожидаемом диапазоне изменений переменных в пограничном слое. Например, оценим величину ди/дх*, заметив, что при обтекании пластины однородным потоком и* изменяется

Грапица динамического пограничного слоя

Граница теплового пограничного слоя

Рис. 5.5. Обозначения и система координат для пограничного слоя на плоской пластине.

ОТ единицы до нуля при изменении х* от нуля до единицы. Таким образом, мы говорим, что ожидаемый порядок величины ди*/дх* равен I. Другими словами.

Множитель порядка двух не имеет значения в наших оценках, тогда как множитель порядка 10-100 важен и дает порядок величины. Следует отметить, что скорость на внешней границе может немного отличаться от Uoo (так бывает в случае течений с градиентом давления). При этом порядок величины ди/дх* остается прежним. Установив, что ди*/дх* 1, оценим член dv*/dy* из уравнения * неразрывности, требуя, чтобы он имел тот же порядок. Поскольку в пограничном слое изменяется от О до е, то и V* тоже будет изменяться между О и е. Итак, у* « е. Если из-за какого-либо возмущающего фактора дб/дх становится локально большой величиной, то в силу уравнения неразрывности v* также может быть локально большой. Очевидно, что безразмерная тепловая величина 8 изменяется от О до 1 в несжимаемой жидкости с постоянными свойствами.

Сейчас мы в состоянии установить порядок величин всех членов уравнений Навье -Стокса. Оценки указаны под соответствующими членами уравнений (5.100) - (5.103).

«lF+=Rirpr(-+172-)+Ec(« j+vjj

1 1 e 1/e 82 Л I/e- 111 ее

1 1 e- 1 l/e2

Несколько замечаний о процедуре оценки членов. В уравнении (5.101) порядок величины градиента давления устанавливают, замечая, что на внешней границе вязкой области уравнения Навье -Стокса переходят в уравнения Эйлера (см. § 5.5). Градиент давления должен уравновешивать, инерционные силы. Поэтому порядок величины градиента давления и инерционных членов должен быть одинаков. Требуем также, чтобы наибольший из вязких членов был одного порядка с инерционными членами. Для этого порядок величины Rci должен быть l/e, как можно видеть из уравнения (5.101).

Порядок величин всех членов уравнения (5.102) можно установить прямым путем, за исключением градиента давления. Так как градиент давления должен быть уравновешен другими членами этого уравнения, то его порядок не может быть больше порядка остальных членов уравнения (5.102). Поэтому его максимальный порядок должен быть е.

В уравнении энергии мы до некоторой степени произвольно положим, что порядок числа Эккерта равен единицу. Следует считать это значение типичным. Число Эккерта в некоторых приложениях имеет порядок больший или меньший. Порядок величины числа Пекле Ре = Re-Pr, как установлено, равен l/e. Так как при рассмотрении уравнения предполагалось

Уравнение неразрывности

!;+*1 = 0. (5.100)

Уравнение движения по оси х

ди* , * ди* др* . 1 /ди* , ди*\ /j-

1 1 е 1/е 1 Е 1 l/e

Уравнение движения по оси у

. dv* , . dv* dp* , 1 /av , .av\

1 e e 1 e e 1/e

Уравнение энергии