гиперболических уравнений в частных производных и объясняет, почему задача с начальными данными для гиперболических уравнений называется маршевой или эволюционной: начальные данные задаются, а решение определяется последовательным продвижением (решение маршевым методом) по времени или играющей его роль координате.

Имена многих выдающихся математиков связаны с постановкой различных задач для уравнении в частных производных. Для гиперболических уравнений наиболее известной является задача Коши: найти решение уравнения в частных производных с начальными данными, заданными на кривой С. Доказана очень важная теорема (она называется теоремой Коши - Ковалевской) о существовании решения задачи Коши. Эта теорема утверждает, что если начальные данные в окрестности точки (0, Уо)-аналитические функции, а функция Uxx (для частного случая, рассмотренного, в примере 2.5) аналитична в этой точке, то в окрестности точки (хо, уо) существует единственное решение и дифференциального уравнения в частных производных, являющееся аналитической функцией.

Рассмотрим подробнее допустимые для гиперболических уравнений постановки задач. Например, для волнового уравнения начальные данные (значения искомой функции и ее производных) можно задавать на любой кривой С, направление которой не совпадает с направлением характеристик. В примере 2.6 будет показано, что если начальные данные заданы на характеристике, то единственное решение задачи Коши найти нельзя. Такая задача называется некорректно поставленной. Подробно мы рассмотрим вопрос о корректности постановки задач в § 2.4.

Пример 2.6. Решить ааписанное в характеристической форме волновое уравнение ui = О с начальными условиями w(0, г\) = = ф{г\). "(0,Л) = Ф{Л).

Решение. Линии = const и ri = const являются характеристиками рассматриваемого уравнения; следовательно, в нашем примере начальные условия заданы на характеристике.

Разложим решение для и в ряд Тейлора по в окрестности линии 1=0, на которой заданы начальные условия:

и{1 л) = «(0, л) + 1«(0, + )+ ••••

Из начальных условий нам известны функции и{ОуУ\) и w(0, ri). Остается найти ицфуУ]).

Из исходного дифференциального уравнения следует, что л (О, Ti) = 0. Из начального условия получим, что "sn(0, Т1) = г)(г])==0,

Проинтегрировав это уравнение, получим uii = f{i,). Если теперь учесть начальные условия, то получим

W(0, т]) = const = 6:2.

Следовательно,

т. е.

В случае когда начальные данные заданы вдоль характеристики 1 = 0, определить вид функции g{l) нельзя.

При решении уравнений в частных производных необходимо правильно задавать начальные и граничные условия, так как лишь в случае корректно поставленных задач решение непрерывно зависит от граничных и начальных условий [Hadamard, 1952]. Понятие «корректно поставленная задача» одинаково подходит как для гиперболических, так и для параболических и эллиптических уравнений в частных производных. Пример задачи для уравнения эллиптического типа будет приведен ниже, в § 2.4.

2.3.2. Параболические уравнения в частных производных

В предыдущем разделе мы изучили основные свойства гиперболических уравнений на примере простого уравнения в частных производных. Поступим аналогично и при изучении параболических уравнений. Уравнение (2.15) является параболическим, если &2 -- 4ас = 0. Уравнение характеристик в этом случае имеет вид

Для приведения уравнения (2.15) к канонической форме

Ф11 = ё{Ф1Фг>Ф>>) (2.36)

перейдем к переменным , г\ по формулам

I == л: - Ху, Т1 = л: - К2У.

И, следовательно,

г) {y)) = const = С. Мы можем, кроме того, написать

dt ду*

Коэффициент Xi определяется из уравнения (2.35). Так как в случае параболического уравнения существует только одно семейство характеристик, то выбор коэффициента %2 ограничивается лишь условием линейной независимости функций и г]. Последнее эквивалентно требованию отличия от нуля якобиана:

(кл1 = ДХ,Я,)#0. (2.37)

Если выбрать 2 удовлетворяющим этому условию и перейти к переменным , г], то получим каноническую форму (2.36).

Параболические уравнения обычно описывают диффузионные процессы. Хотя эти уравнения являются маршевыми (эволюционными), т. е. допускают решение последовательным продвижением по времени (или аналогичной времени маршевой координате), зона зависимости их решений в отличие от гиперболических уравнений не ограничена. Решение параболического уравнения в любой момент времени t\ зависит от параметров во всей рассматриваемой области в предыду-Рис. 2.7. Область зависимости для щие моменты Времени ittx), параболического уравнения. условий на

боковых границах. Мы уже отмечали это свойство решений параболических уравнений при анализе одномерного уравнения теплопроводности (пример 2.3). Пусть заданы начальное поле температуры и температура обеих границ; тогда область зависимости решения этого уравнения в момент времени имеет вид, показанный на рис. 2.7. Рассмотрим еще одну интересную и важную задачу, сводящуюся к решению параболического уравнения.

Пример 2.7. Рассмотрим задачу о нестационарном обтекании несжимаемой вязкой жидкостью внезапно приведенной в движение пластины. Это известная задача Рэлея, допускающая точное аналитическое решение. Так как течение двумерное, то отлична от нуля лишь параллельная пластине составляющая скорости. Выберем систему координат л:, у так, чтобы ось х была параллельна, а ось у перпендикулярна пластине. Тогда скорость жидкости описывается уравнением

"=vS. / (2.38)