дх ду Уравнение движения

ди , ди \ др . ди /г- ,лсг\

Уравнение энергии

дТ , дТ дТ . рТи dp . ц / ди \2

где V = [х/р - коэффициент кинематической вязкости и а = = k/pCp - коэффициент температуропроводности.

Уравнение энергии можно обобщить на случай неидеального газа путем введения коэффициента объемного расширения

Р"~ р дТ

Для идеального газа р = 1/Г, где Г -абсолютная температура. Следует подчеркнуть, что последние два члена в уравнении (5.106) сохранены на том основании, что Ее 1. Если для некоторого частного случая течения порядок величины Ее стано-

ReL(l/82), то это дает Рг 1. Это полностью соответствует нашей исходной гипотезе о том, что г и st обе малы, т. е. б б Другими словами, мы считаем, что числа Пекле и Рейнольдса-имеют одинаковый порядок величины. Следует ожидать, что настоящие результаты применимы для потоков, в которых число Прандтля не сильно отличается от единицы. Точные границы такого анализа должны быть установлены сравнением с экспериментальными данными. Для, последнего члена в квадратных скобках уравнения (5.103) указано три порядка: порядок 1 относится к оценке величины удвоенного произведения, возникающего при возведении в квадрат.

Выполнив перемножение, видим, что все члены уравнения движения по направлению х имеют один порядок величины, за исключением члена со второй производной (диффузия) в продольном направлении, порядок которого e. В уравнении движения по направлению у нет членов, порядок которых больше е. В уравнении энергии несколько членов имеют порядок величины, равный единице, хотя порядок членов, связанных с работой сил давления и вязкой диссипацией, меньше. Сохраняя в уравнениях лишь члены, порядок которых равен 1, получим уравнения пограничного слоя. Ниже они записаны в размерных переменных.

Уравнение неразрывности

"+1 = 0. (5.104)

Т{х,0) = Т{х) или

д(х) (5.107)

lim и (х, у) = Ue (х), lim Т {х, у) = Те (х),

где нижний индекс е относится к условиям на внешней границе пограничного слоя. Градиент давления в уравнениях (5.105) и (5.106) рассчитывают по известному на внешней границе течению. Если распределение Ue{x) задано, то dp/dx можно рассчитать по уравнению движения для внешнего течения невязкого газа (уравнению Эйлера)

dp dUe (х)

5=-Р«« dx •

Не составляет труда получить уравнения пограничного слоя для течений жидкости с переменными свойствами и/или сжимаемой жидкости. Мы ограничимся рассмотрением жидкости с постоянными свойствами только из-за удобства, поскольку собираемся изложить основные принципы, которые часто можно применять для получения упрощенной системы приближенных уравнений для рассматриваемого течения. Уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости с учетом переменных свойств жидкости будут представлены в п. 5.3.3.

Прежде чем завершить обсуждение вопроса оценки порядков величин для ламинарных течений, следует поднять вопрос о том, какие члены, опущенные в приближении пограничного слоя, становятся доминирующими, по мере того как отношение S/L растет. Ответ очевиден - сначала члены порядка е, затем члены порядка 8. Заметим, что член со второй производной, которым мы пренебрегали в уравнении движения в продольном направлении, имеет порядок тогда как большинство членов уравнения движения в поперечном направлении имеют порядок 8. Это означает, что вклад уравнения движения в поперечном направлении ожидается более существетным, нежели учет дополнительных членов в уравнении движения в продольном направлении. Система уравнений, которая получается в результате

вится равным г или меньше, то этими членами следует пренебречь.

Чтобы завершить математическую формулировку задачи, надо указать начальные и граничные условия. Стационарные уравнения пограничного слоя относятся к параболическому типу, когда за маршевое направление принимают направление основного потока. Необходимо задать начальные распределения и и Т. Граничные условия задают следующим образом:

и{х, Q)=:v{x, 0) = 0,

Отнесенная к скобкам звездочка, ( )*, указывает на то, что все величины в скобках безразмерные, т. е. вместо u*v* будем пользоваться более удобной записью (uv)*.

Как и ранее, предположим, что 6/L <С 1, 8t/L < 1 и 8 = = 8/L 8i/L. При установлении порядков величин рейнольд-совых напряжений и тепловых потоков мы исходим из экспериментальных наблюдений, которые свидетельствуют, что рейнольд-совы напряжения могут быть так же велики, как соответствующие величины в ламинарном потоке. Это требует, чтобы

{uvy 8. Измерения подтверждают, что (О*, (г/у)*» ()* при некотором их различии в величинах и распределении имеют в пограничном слое одинаковый порядок величин. Иными словами, мы не можем сказать, что величина любого из этих членов отличается на множитель 10 или более от величины других членов. Аналогичное замечание может быть сделано в отношении уравнения энергии, что приводит к заключению о том, что

сохранения как членов порядка I, так и членов порядка е, но пренебрежения членами порядка и выше, оказалась полезной в вычислительной гидромеханике. Такие стационарные уравнения движения жидкости, в которых пренебрегают всеми членами со второй производной в продольном направлении, известны как параболизованные уравнения Навье -Стокса в случае сверхзвуковых течений и как частично параболизованные в случае дозвуковых течений. Эти два примера относятся к категории уравнений, называемых параболизованными уравнениями Навье-Стокса. Они занимают промежуточное положение между уравнениями Навье -Стокса и уравнениями пограничного слоя в иерархии уравнений динамики жидкости и будут обсуждаться в гл. 8.

Теперь займемся получением приближения пограничного слоя для двумерного турбулентного течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами. В предположении несжимаемости жидкости (р = 0) уравнения Рейнольдса значительно упрощаются. Обезразмерим уравнения Рейнольдса для несжимаемой жидкости во многом сходным путем, как это мы делали в случае уравнений Навье -Стокса, положив

«со «со i P"i>

ivr = -jr (5-108)