(Qvy и (6V)* имеют порядок величины е. Тройные корреляции, как, например, (r/r/V)*» считаются малыми по сравнению с двойными и имеют порядок [Schubauer, Tchen, 1959]. Целесообразно привести уравнение энергии в приближении пограничного слоя, записанное относительно полной энтальпии (5.89). Заменим Я по формуле

Ниже выписаны уравнения Рейнольдса, в которых под каждым членом приведена его оценка по порядку величины.

Уравнение неразрывности

ди* . dv*

дх* 1

(5.109)

Уравнение движения по оси х

дх* ду*

11 е 1/е

1 / ди* , ди* \ д / / /ч» д 7~79Т. /г i i л\

-Ri(lP + lj-(") )• (5.110)

1/82

Уравнение движения по оси у

ду 1

dv* . dv*

18 8 1

1 / dV* dV* \

Re \ dx* dy* )

d(vu)* d(v)*

dx""

(5.111)

Уравнение энергии

дН- , дН Tj-T\ дх* "т- ду* г-Го L

дх* аг/

1/е2

т(вт

8/е д

, 1 f d*Q , дд \ . Г д , -7-77. / "Т"7Т.

+ Ri7PF( + -3?} + Ec[--(««H) -(о«) -

дх* е

ал:* е2

е2/е

8«

254 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен eVe eVe i

eye e e/e e

8/8 e/e2 8/e2

Мы вновь будем считать, что Рг и Ее близки к единице. Двумерные уравнения пограничного слоя получают, сохраняя только члены первого порядка. Их можно записать в размерных переменных:

Уравнение неразрывности

дх ду Уравнение движения

- дй , - дй dp , дй д , f /г **о\

Уравнение энергии

-p-(«7Z) + fi(«). (5.114)

Следует заметить, что в уравнении движения по оси у остаются члены первого порядка, а именно

9 ду ду

Они не включаются в систему уравнений пограничного слоя, так как не содержат информацию об осредненных скоростях. Изменение давления поперек пограничного слоя имеет порядок е (мало по сравнению с изменением давления вдоль пограничного слоя). Погранслойное уравнение энергии легко переписать через статическую температуру, заменяя Я в уравнении (5.114) на СрТ + й/2. При этом мы пренебрегаем по сравнению с в выражении для кинетической энергии осредненного дви-

В некоторых задачах последними двумя членами правой части (5.115) можно пренебречь. Но так поступать неправомерно в случае несжимаемой жидкости. Например, последний член в правой части дает вязкую диссипацию энергии, играющую важную роль в задачах смазки, в которых основная проблема состоит в отводе тепла, порождаемого вязкой диссипацией. Иногда можно пренебречь одним или даже обоими последними членами в правой части уравнения (5.114). Уравнения (5.114) и (5.115) легко записать в конечно-разностном виде, поэтому дальнейшее их упрощение нецелесообразно, кроме того случая, когда упомянутыми членами этих уравнений действительно можно пренебречь. Для турбулентных "течений граничные условия сохраняются неизменными.

Завершая раздел, посвященный рассмотрению приближения тонкого слоя, следует заметить, что для турбулентных течений наибольший член, опущенный в уравнении движения в продольном направлении, т. е. нормальное рейнольдсово напряжение, имеет порядок больше е, т. е. превосходит наибольший из опущенных членов в случае ламинарного течения. Заметим также, что только один член с рейнольдсовым напряжением и один член с рейнольдсовым тепловым потоком сохраняются в уравнениях пограничного слоя.

В любой задаче, в которой стационарные уравнения тонкого слоя используются для расчета внутренних течений, можно получить расход жидкости через канал. Это позволяет рассчитать градиент давления, тогда как в случае рассмотрения внешних течений его необходимо задавать. Об этом будет еще разговор в гл. 7.

5.3.3. Уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости

Упрощение уравнений Рейнольдса при использовании приближения пограничного слоя в случае сжимаемой жидкости является более громоздкой процедурой. По этой причине ниже будут приведены лишь результаты. Подробности можно найти в цитируемых работах [Schubauer, Tchen, 1959], [van Driest, 1951]

жения. Рассмотрение того, как возникает Я в (5.114), показывает, что это допустимо в приближении пограничного слоя. Исключая члены с кинетической энергией при помощи (5.113), перепишем погранслойное уравнение энергии в виде