Трехмерные уравнения пограничного слоя использовались сначала для задач внешней аэродинамики, в которых члены с градиентами давления находились из решения уравнений невязкого течения (уравнений Эйлера). Трехмерные внутренние течения обычно рассчитываются по несколько иным уравнениям, которые будут обсуждаться в гл. 8.

При расчетах пограничного слоя на крыльях или других конфигурациях, представляюш,их практический интерес, обычно используются связанные с телом криволинейные координаты. Часто эти координаты неортогональные. Пример этого можно найти в книге Цебеци и др. [Cebeci et al., 1977]. Однако применение ортогональных координат более распространено (см., например, [Blottner, Ellis, 1973]). Одна из координат, лгг, обычно направлена почти по нормали к стенке. Этого соглашения мы и будем придерживаться. Ниже выпишем уравнения трехмерного пограничного слоя в криволинейных ортогональных координатах, описанных в п. 5.1.7. Обычно Хх есть направление основьюго потока, а лз - поперечное к нему направление. Метрические коэффициенты hi, /i2, hz определены так же как в п. 5.1.7; однако /i2 в приближении пограничного слоя принимается равным единице. Кроме них мы будем использовать геодезические кривизны ли.-ний координатных поверхностей

В этих обозначениях уравнения турбулентного пограничного слоя сжимаемой жидкости можно записать следующим образом.

Уравнение неразрывности Уравнение движения по оси Х\

Уравнение движения по оси лгз 9*

+ Ч1-Тг)(«.1- + «зжг)-Р«.«2«;-Р«з«2«Ф (5.128)

Как всегда, для замыкания системы уравнений в нее необходимо включить уравнение состояния р=р(р, Г). Приведенные выше уравнения остаются справедливыми и для ламинарного течения, если пульсационные величины положить равными нулю.

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 5.4.1. Некоторые общие соображения

О насущной необходимости моделирования турбулентности уже шла речь в § 5.2. Чтобы рассчитать турбулентные течения путем решения уравнений Рейнольдса, необходимо принять гипотезу замыкания для кажущихся турбулентных напряжений и тепловых потоков. Все существующие модели турбулентности имеют недостатки. Окончательная модель турбулентности еще не создана. Некоторые авторы философски рассуждают, что уравнения Навье - Стокса - это система уравнений для описания турбулентных течений, являющаяся одновременно и точной, и общей, поэтому надеяться на то, что нам удастся получить при помощи моделирования турбулентности некую альтернативную систему с сохранением прежней точности и общности, но проще решаемую, было бы чересчур оптимистично. Если принять эту точку зрения, то наши ожидания умерятся и от поисков окончательного решения этой проблемы мы перейдем к поиску моделей, которые имеют приемлемую точность в ограниченном диапазоне условий течения.

Важно помнить, что модели турбулентности должны проверяться сравнением расчетов, выполненных на их основе, с экспериментальными данными. Следует быть особенно внимательным при интерпретации расчетов, когда модель используется вне диапазона условий, в которых она была проверена сравнением с данными эксперимента.

Цель данного раздела - введение в общепринятые методики моделирования турбулентности. При этом мы не имеем намерения дать подробные описания этих моделей, что невозможно без ознакомления с оригинальными работами, а хотим выявить рациональную сторону выбора стратегии моделирования. Простейшие модели будут описаны достаточно подробно, чтобы читатель сам был в состоянии сформулировать основную модель, пригодную для простейших тонких сдвиговых слоев.

Уравнение энергии п « j «л дН ,из дН д г [I дН 777V ,

5.4.2. Терминология моделирования

Более чем 100 лет тому назад Буссинеск [Bossinesq, 1877] выдвинул предположение, что кажущиеся турбулентные сдвиговые напряжения могли бы быть связаны со скоростью средней деформации через кажущуюся (эффективную) скалярную турбулентную (или «вихревую») вязкость. Для тензора рейнольдсовых напряжений общего вида это дает

-W>=lT{ + )-hu{lr + P)- (5-129)

где fir -коэффициент турбулентной вязкости и - кинетическая энергия турбулентности, k = ujUf./2. Следуя принятому в п. 5.3.2 соглашению, опускаем черту над средними по времени переменными.

По аналогии с кинетической теорией газов можно ожидать, что турбулентную вязкость можно с достаточной точностью представить в виде

Ц2 = рМ, (5.130)

где vt и / - характерные масштабы скорости и длины турбулентности соответственно. Проблема состоит в том, как оценить Vt и /.

Модели турбулентности для замыкания уравнений Рейнольдса могут быть разделены на две большие группы в соответствии с тем, используется или нет гипотеза Буссинеска. Модели, в которых используется гипотеза Буссинеска, будем относить к группе I и называть их моделями турбулентной вязкости. Большинство моделей, используемых в настоящее время в инженерных расчетах, относятся именно к этой группе. Экспериментальные наблюдения свидетельствуют, что гипотеза турбулентной вязкости пригодна для многих течений. Существуют, однако, исключения, и нет физического обоснования ее справедливости. Модели, осуществляющие замыкание уравнений Рейнольдса без гипотезы Буссинеска, будем относить к группе П. Она включает в себя модели, называемые моделями рейнольдсовых напряжений или моделями с уравнениями для напряжений.

Другой способ классификации моделей состоит в классификации согласно числу дополнительных дифференциальных уравнений в частных производных, которые необходимо решить для получения параметров модели. Это число может изменяться от О в случае простейших алгебраических моделей до 12 в случае наиболее сложных моделей рейнольдсовых напряжений [Donaldson, Rosenbaum, 1968]. Иногда говорят о порядке замыкания. Согласно этой терминологии, в модели замыкания первого