порядка рейнольдсовы напряжения рассчитываются как функции только осредненных скоростей и геометрии задачи. Модель замыкания второго порядка использует решение некоторого модельного уравнения для переноса одной или более характеристик турбулентности.

К группе III будут отнесены модели, которые не основываются полностью на уравнениях Гейнольдса. Многообещающий численный метод, известный под названием моделирование урупных вихрей, относится к этой группе. В этом методе [Dear-dorff, 1970] делается попытка разрешить крупномасштабное турбулентное движение, исходя из основных принципов путем численного решения «отфильтрованной» системы уравнений, описывающих это крупномасштабное трехмерное нестационарное движение. Моделирование турбулентности используется для аппроксимации эффектов турбулентности, масштаб которых меньше размеров ячейки сетки. Такие расчеты очень перспективны, но в настоящее время их стоимость слишком велика, чтобы они могли быть инструментом инженерных расчетов.

Поскольку мы обратились к специальным моделям турбулентности, то полезно иметь в виду систему уравнений сохранения, которая должна быть дополнена уравнениями модели турбулентности. Уравнения тонкого сдвигового слоя (5.116) - (5.119) достаточно хорошо будут служить этой цели. В случае двумерных пли осесиммстричных уравнений тонкого сдвигового слоя задача моделирования сводится к нахождению выражений для - pyV и pCpVT\ Далее опишем способы определения этих двух членов и покажем там, где это возможно, пути перехода к уравнениям более сложного вида.

5.4.3. Простые алгебраические модели

Алгебраические модели турбулентности постоянно используют гипотезу Буссинеска. Одну из наиболее успешных моделей этого типа предложил Прандтль в 1920-х гг.:

VT = 9l\[ (5.131)

где / - длина пути смешения, которую можно трактовать как расстояние в поперечном направлении, на котором частицы еще сохраняют свой собственный импульс (по порядку величины, равному длине среднего свободного пробега жидких частиц до столкновения или смешения). Произведение 1\ди/ду\ можно интерпретировать как характерную скорость турбулентности Уг. В выражении (5.131) - компонента скорости в направлении основного течения и - поперечная координата,

Для трехмерных сдвиговых слоев формула Прандтля записывается обычно в виде

В этой формуле турбулентная вязкость рассматривается как скаляр и дает качественно правильные результаты, особенно для пристенных течений. Однако имеются экспериментальные доказательства того, что во внешнем слое турбулентную вязкость следует рассматривать как тензор (т. е. величину, зависящую от направления деформации) для обеспечения лучшего согласования с результатами эксперимента. Для течений в углах или других конфигурациях, в которых нет явно выраженного поперечного направления, формула Прандтля должна быть модифицирована (см., например, [Patankar et al., 1979]).

Вычисление / в модели длины путем смешения зависит от типа рассматриваемого течения: пограничный слой, струя, след и т. п. Для пристенных течений (внутренних или внешних) хорошие результаты дает оценка согласно формуле

l = xy(l-e-y) (5.132)

для внутренней области, расположенной в непосредственной близости от стенки, и формуле

/o = Ci6, (5.133)

когда рассчитываемая по формуле (5.132) величина h впервые превосходит /о. Постоянная Ci в (5.133) обычно принимается близкой к 0.089, а б - толщина пограничного слоя.

В выражении (5.132) к есть постоянная Кармана, обычное значение которой принимается равным 0.41, и Л* - демпфирующая константа, равная 26. Выражение в скобках есть демпфирующая функция ван Дриста [van Driest, 1956], которая используется для того, чтобы перекинуть мост между полностью развитым пограничным слоем, где 1 = ку, и вязким подслоем, где 1-0, Параметр у+ определяется в виде

Для учета влияния переменных свойств жидкости, градиентов давления, вдува, шероховатости поверхности сделаны многочисленные поправки к экспоненциальной функции. В работе [Cebeci, Smith, 1974] дано обсуждение модификаций для учета некоторых из этих эффектов. Однако, как ясно из сравнений, опубликованных в литературе материалов, для модели внутреннего слоя [см. (5.132)] не требуется модификации для точного

50 100 ZOO

у"-

500 1000 2000 5000 10000

Рис. 5.7. Структура турбулентного пограничного слоя для типичного течения несжимаемой жидкости на гладкой плоской пластине.- типичный профиль скорости, Reg = 5000;---м+ = (1/0.41) In -f 5.15;--м+ =

расположение для типичного распределения скорости в турбулентном пограничном слое несжимаемой жидкости на гладкой непроницаемой пластине в координатах «закона стенки» (у+, и+). Число Рейнольдса Ree = peUeQ/\ie подсчитано по толщине поте})и импульса, которая определяется в виде-

Безразмерная скорость а+ определяется как u+=u/{\xw\/9w) Взаимное расположение внутренней и внешней областей показано на рисунке. В обычных условиях внутренняя область закона стенки включает примерно 20 % толщины пограничного

учета переменных свойств газов при умеренных давлениях на гладких поверхностях.

Выражение (5.132) для h обусловливает внутреннюю область закона стенки турбулентного течения, а выражение (5.133) для /о - внешнюю область «следа». На рис. 5.7 показано их