СЛОЯ. Область логарифмического закона является характерной чертой пристенного турбулентного пограничного слоя, хотя закон стенки меняет свой вид в зависимости от чисел Рейнольдса и Маха.

Стоит отметить, что при малых числах Рейнольдса, подсчитанных по толщине потери импульса, т. е. при зарождении турбулентного пограничного слоя, размеры как внутренней, так и внешней областей стремятся к нулю и следует ожидать неприятностей при применении модели турбулентности, использующей выражения (5.132) и (5.133). Трудности возникают от того, что малые б, имеющие место при зарождении турбулентного пограничного слоя, вызывают переключение на модель внешней части, прежде чем демпфирующий эффект позволит развиться полностью турбулентной области закона стенки. Это приводит к тому, что разностные схемы, использующие эту модель, дают уменьшенные значения для касательного напряжения на стенке. Это отличие мало для течений несжимаемой жидкости и гораздо больше для сжимаемых жидкостей, причем становится все более заметным при увеличении числа Рейнольдса, так как число Маха растет из-за утолщения вязкого подслоя вследствие тепловых эффектов [Pletcher, 19t6]. Естественно, на этот эффект влияет интенсивность охлаждения стенки в случае сжимаемых течений.

Можно добиться хорошего соответствия результатов расчета с экспериментальными данными при малых числах Рейнольдса путем простого запаздывания переключения с модели внутренней части слоя (5.132) на модель внешней части (5.133) до тех пор, пока f/+ 50. Если при у+ = 50 1/8 0.089, то в модификации нет необходимости. Если, с другой стороны, соотношение (5.132) дает 1/8 > 0.089, то длина пути смешения становится постоянной во внешней части, рассчитываемой по (5.132) при у+ = 50. Такая простая модификация дает линейно-логарифмический закон скорости, что согласуется с измерениями.

Для внутренней и внешней частей пограничного слоя с успехом используются и другие модели. Некоторые исследователи [Patankar, Spalding, 1970] в непосредственной близости от стенки пользуются пристенными функциями, применение которых основано на допущении о характере течения Куэтта вблизи стенки. Этот подход, вероятно, не так хорош для течений жидкости с переменными свойствами, для течений с проницаемыми стенками и другими пристенными эффектами, как подход с использованием функции ван Дриста.

Для расчета турбулентной вязкости во внешней части слоя как альтернативу расчету по соотношению (5.133) часто используют другой подход [Cebeci, Smith, 1974]. Клаузер предложил

266 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен пользоваться формулой

*T(outer) = «P".fi;> (5.134)

где а учитывает эффекты при малых числах Рейнольдса. Це-беци и Смит [Cebeci, Smith, 1974] рекомендуют пользоваться для а следующим выражением:

a = 0.0168yfp~, (5.135)

л = 0.55[1 ~-ехр(~0.243г1/2~0.298г)] и г = Рее/425- 1.

Для Ree, большего 5000, а 0.0168. Параметр бл есть толщина вытеснения, определяемая в виде

Вычисление рейнольдсового теплового потока pCpVT обычно производится при помощи алгебраических моделей в виде аналогии Рейнольдса, которая основана на подобии между переносом тепла и импульса. В применении к кажущимся турбулентным тепловым потокам она заключается в том, что постулируется гипотеза Буссинеска

pcpvr = -k

дТ ду •

В турбулентном потоке дополнительный перенос тепла обусловлен турбулентным движением. Экспериментальные данные подтверждают, что отношение турбулентной теплопроводности к турбулентной вязкости, называемое турбулентным числом Прандтля, Ргг = 11тСр/кт, является функцией с «хорошим» поведением. Большинство алгебраических моделей турбулентности хорошр работают, когда турбулентное число Прандтля полагают близкой к единице константой. Обычно считают, что Ргт- = 0.9. Данные эксперимента свидетельствут, что для пристенных течений Ргг изменяется от 0.6-0.7 во внешней части пограничного слоя до 1.5 вблизи стенки, хотя теоретических обоснований этого не имеется. Предложено несколько полуэмпирических распределений для Рг?-[Cebeci, Smith, 1974; Kays, 1972; Reynolds, 1975]. Кажущийся турбулентный тепловой поток связан с турбулентной вязкостью и параметрами осредненного течения при помощи турбулентного числа Прандтля еле-

Итак, рекомендуемая основная алгебраическая модель турбулентности для пристенных пограничных слоев состоит в вычислении турбулентной вязкости по формуле Прандтля для длины пути смешения (5.131), в которой / задается выражением (5.132) для внутренней части и выражением (5.133) дл внешней части слоя. Наряду с этим для внешней части слоя можно использовать формулу Клаузера (5.134). Кажущийся тубулент-ный тепловой поток можно оценивать по формуле (5.137), считая турбулентное число Прандтля равным 0.9. Эта простейшая математическая модель турбулентности имеет четыре эмпирические константы, которые подбираются согласно табл. 5.1.

Таблица 5.1. Эмпирические константы для алгебраических моделей турбулентности для пристенных пограничных слоев

Обозначение

Описание

Ci или а

Константа Кармана для внутренней части слоя «0.41 Константа ван Дриста для демпфирующей функции «26, но часто модифицируется для учета более сложных эффектов

Константа для внешней части слоя Ci 0.089, а « 0.0168,

но обычно включает / (Re0) в а Турбулентное число Прандтля, обычно Рт-р « 0.9

Алгебраические модели хорошо зарекомендовали себя для сравнительно простых течений вязкой жидкости, но требуют модификации для расчета течений более сложного вида. Следует сказать, что сжимаемость жидкости не относится к этим ослож-

дующим образом:

-рс,7Г=.. (5.137)

ЧТО завершает процедуру замыкания.

Для течений, отличающихся от тонких сдвиговых слоев, может возникнуть необходимость в моделировании других членов с рейнольдсовыми тепловыми потоками. Для реализации этого считают коэффициент турбулентной теплопроводности кт = = Ср\1т/Гт скалярной величиной и распространяют аппроксимацию типа Буссинеска на другие компоненты градиента температуры. В качестве примера вычислим - pCpUT:

CpHj, дТ