Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

Первые три модели из табл. 5.3 отличаются друг от друга в деталях, хотя все три используют интегральную форму уравнения переноса кинетической энергии турбулентности для учета влияния предыстории потока на турбулентную вязкость. Модели такого типа были разработаны для расчета перехода, влияния эффектов шероховатости, проницаемости стенок, градиентов давления и качественного учета реламинаризации. Сообщается, что эти модели тестировались в основном на задачах внешнего обтекания, а не на задачах течения в каналах.

Хотя модели 5D, 5Е и 5F, по-видимому, являются чисто эмпирическими релаксационными моделями или моделями с запаздыванием, было показано [Birch, 1976], что модели этого типа на самом еле эквивалентны одномерным вариантам уравнений в частных производных для переноса рассматриваемых величин, за исключением того, что эти уравнения переноса нельзя получить из уравнений Навье - Стокса. Это не слишком большой недостаток, поскольку их все равно нельзя решать без упрощений эмпирического характера и моделирования членов. В конце концов независимо от своей природы эти уравнения принимают вид, в котором имеются члены, описывающие генерацию, диссипацию, диффузию и конвекцию рассматриваемых величин.

Модель 5F для пристенных пограничных слоев использует выражение (5.132) для длины пути смешения во внутренней части. Во внешней части длина пути смешения принимается равной

/o = 0.12L, (5.142)

где L определяется из решения обыкновенного дифференциального уравнения. Для сдвиговых слоев постоянной толщины за L принимается толщина б сдвигового слоя. При изменении б в направлении потока L будет отставать от б, причем характер этого отставания будет определяться временем релаксации крупных вихрей, которое считается равным б 7т, где йт -характерная турбулентная скорость. Если далее принять, что скорость жидкости во внешней части сдвигового слоя равна We, то расстояние в направлении течения, которое поток проходит за время релаксации, есть L* - СиеЬ/йх. Тогда уравнение для изменения L может быть записано в предположении, что L релак-сирует к б по закону

Ж = - (5.143)

Эта модель была распространена на свободные сдвиговые течения [Minaie, Pletcher, 1982], при этом б интерпретируется как расстояние между точкой максимума сдвигового напряжения и



внешней границей течения, а Ue заменяется на продольную скорость, осредненную по сдвиговому слою. Оптимальная оценка йх, по-видимому, не найдена. Выражение ilx = {L/b) (\xw\/9wy-с успехом применяется для течений вдоль твердых поверхностей, тогда как йх ={хшгх/9т) оказалось вполне удовлетворительным для свободных сдвиговых течений. Можно было бы предположить, что последнее выражение будет приемлемым и для пристенных пограничных слоев. В окончательном виде обыкновенное дифференциальное уравнение для переноса L в случае пристенных пограничных слоев [Fletcher, 1978] и смешивающихся сдвиговых слоев в кольцевых каналах [Malik, Fletcher, 1978] можно записать в виде

5.4.5. Модели с одним уравнением

Очевидный недостаток алгебраических моделей турбулентной вязкости, в которых Vt в выражении для р,г = 9т1 обычно оценивается по формуле Vt = 1\ди/ду\, заключается в том, что \xt = kT==Q всюду, где \du/dy\ = Q, Это означает, что \it и кт будут нулями на центральной линии трубы, в областях перемешивания пристенной струи с основным потоком и при течении между двумя плбскими стенками, когда одна стенка горячая, а другая холодная, при истечении через круглое отверстие. Измерения да и здравый смысл говорят, что р,г и кт не равны нулю в условиях, когда ди/ду = 0. Модели длины пути смешения можно подкорректировать, чтобы преодолеть и это их слабое место, но этот их принципиальный недостаток побуждает к поискам других выражений для [хт и кт- В пользу алгебраических моделей следует сказать, что этот их недостаток не всегда является решающим, так как рейнольдсовы напряжения и тепловые потоки часто бывают малыми, когда ди/ду = 0. В работе [Malik, Fletcher, 1981] приведены примеры, иллюстрирующие это явление.

В 40-х годах Прандтль и А. Н. Колмогоров предположили, что в формуле [It = pvtI скорость vt пропорциональна корню квадратному из кинетической энергии турбулентности k = l2u\u\. Таким образом, турбулентную вязкость можно оценивать как

jx, = C,p/(fer (5.145)

и р,г уже не обращается в нуль, когдка ди/ду = 0. Кинетическая энергия k - величина, доступная измерениям, и ее легко интерпретировать с физической точки зрения. Встает вопрос, как рассчитать к.



Dt ду vt- - г - А/ ; ду

[(У+Ш+(Л. <-«*

которое в свою очередь обычно моделируется уравнением

P-Dr=Lr + -p?7Ji7j + f*4-J---i-• (5147>

В этом уравнении члены имеют следующий физический смысл: член слева - приращение k в жидком объеме, первый член справа-скорость диффузии для k, второй член - скорость генерации для k, третий член - скорость диссипации для /г. Это модельное уравнение решается совместно с системой уравнений в частных производных, описывающих рассматриваемое течение жидкости. Заметим, что параметр I необходимо задавать алгебраической формулой. В уравнении (5.147) PVk - число Прандтля для кинетической энергии турбулентности («1.0), а Cd « 0.164, если / считать обычной длиной.пути смешения.

Приведенное выше модельное уравнение справедливо только для полностью развитых турбулентных течений, т. е. вдали от демпфирующего влияния стенки. Для типичных пристенных течений это означает, что у+ должно быть больше 30. Для задания внутренних граничных условий для k часто используют пристенные функции [Launder, Spalding, 1974]. Другой способ задания внутренних граничных условий для k основан на известном экспериментальном наблюдении, *1то вблизи стенки конвекция и диффузия k обычно малы. Поэтому генерация и диссипация k уравновешивают друг друга и можно показать (задача 5.19), что модель для кинетической энергии турбулентности сведется при этих условиях к модели длины пути смешения (5.131). В области, где диффузией и конвекцией можно пренебречь, в качестве внутреннего граничного условия для k можно использовать (задача 5.22)

к{х,Ус) = , (5.148)

где Ус - координата точки внутри области, где, как ожидается, справедливо логарифмическое распределение скорости. Если же у < усу то можно использовать алгебраическую модель типа

Уравнение для k можно получить (задача 5.18) из уравнений Навье - Стокса. Для двумерного течения несжимаемой жидкости в приближении тонкого слоя его можно записать в виде



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124