Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

модели Прандтля [(5.131) и (5.132)]. В работе [Launder, Spalding, 1972] можно найти дальнейшие подробности применения моделей из одного уравнения для течений несжимаемой жидкости.

Не так давно модель турбулентности с одним уравнением была распространена на случай течения сжимаемой жидкости [Rubesin, 1976 , и полученные к настоящему времени результаты выглядят обнадеживающе. Представляется очевидным, что для течений, где есть взаимодействие с ударной волной, которое заметно влияет на уровень турбулентности в потоке, расчеты по модели Рубезина с одним уравнением являются определенным улучшением по сравнению с расчетами по алгебраическим моделям. В целом, однако, качество -большинства моделей с одним уравнением (как для несжимаемой жидкости, так и для сжимаемой) оставляет желать лучшего даже в тех немногочисленных случаях, когда применение этих моделей дает лучшие результаты по сравнению с расчетами по алгебраическим моделям. На самом деле некоторые течения могут быть рассчитаны с большей точностью по моделям с одним обыкновенным дифференциальным уравнением, нежели по модели с одним уравнением типа Прандтля -Колмогорова, которая просто дает изменение скорости турбулентности в выражении для турбулентной вязкости. Причина этого может лежать в том, что для большинства течений улучшение в задании величины характерной длины I дает больший эффект, чем изменение скорости турбулентности Vt, Многие из моделей с одним обыкновенным дифференциальным уравнением, перечисленные в табл. 5.3, дают большую точность масштаба длины.

Были предложены и другие модели с одним уравнением, отличающиеся от уравнений, основанных на подходе Прандтля - Колмогорова. Наиболее известна из них модель Брэдшоу [Bradshaw et al., 1967]. В модели Брэдшоу используется уравнение для кинетической энергии турбулентности, но моделируется она иным способом. Также иначе записано и уравнение движения, в котором турбулентные сдвиговые напряжения предполагаются пропорциональными k. Подробности модели здесь обсуждаться не будут, однако интересной чертой модели Брэдшоу является то, что как следствие формы моделирования членов турбулентного переноса тип системы становится гиперболическим и она может быть решена методом, аналогичным методу характеристик. Модель Брэдшоу с успехом применяется для расчета пристенных пограничных слоев, но при всем этом результаты ненамного лучше результатов расчета по алгебраическим моделям или моделям с одним обыкновенным дифференциальным уравнением.



= = сШ1г. (5.149)

Накоплен большой опыт работы с этой моделью, в основном для течений, в которых свойства жидкости изменялись мало.

5.4.6. Модели с одним уравнением и одним обыкновенным дифференциальным уравнением и модели с двумя уравнениями

При переходе от моделей длины пути смешения к моделям с одним уравнением принципиальный шаг вперед состоял в том, что последние допускают изменение параметра, описываемое уравнением модели. В моделях с одним уравнением характерная длина по-прежнему задается алгебраическим выражением и зависит только от локальных параметров течения. Однако исследователи турбулентности интуитивно чувствовали, что масштаб длины в турбулентных лоделях также должен зависеть и от предыстории течения, а не только от локальных условий. Очевидный способ учесть более сложную зависимость / от картины течения заключается в том, чтобы записать уравнение переноса для изменения /. Если в систему добавляется обыкновенное дифференциальное уравнение, как, например, (5.144) для модели 5F, то результирующую модель можно было бы назвать моделью с одним уравнением и одним обыкновенным дифференциальным уравнением. Такая модель использовалась для расчета отрывных турбулентных пограничных слоев в задачах внешнего обтекания [Pletcher, 1978], для течений в круглых каналах с теплопередачей [Malik, Plecher, 1981], для плоских и круглых струй [Minaie, Fletcher, 1982].

Когда для масштаба длины получают уравнение в частных производных, то такую модель часто называют моделью турбулентности с двумя уравнениями.

Хотя можно получить уравнение в частных производных для масштаба длины, члены его не так просто моделировать; в некоторых работах добились большего, решая уравнение переноса для параметра, связанного с масштабом длины, а не для самого масштаба длины. Этот подход обсуждается Лаундером и Спол-дингом [Launder, Spalding, 1974].

Одной из наиболее употребительных моделей с двумя уравнениями является {k-е)-модель, впервые предложенная Хэр-лоу и Накаямой [Harlow, Nakayama, 1968]. В своем описании этой модели следуем работам [Jones, Launder, 1972] и [Launder, Spalding, 1974]. Параметр г есть скорость диссипации турбулентности; предполагается, что он связан с другими модельными параметрами формулой 8 = C(S)3/Ve, где /е -масштаб диссипации и С - постоянная. Тогда турбулентная вязкость выражается через 8 следующим образом:



Таблица 5.4. Крнстанты для {k - е) -модели

0.09

1.44

1.92

Было предложено много других моделей с двумя уравнениями, из них часто используются модели Нга - Сполдинга [Ng, Spalding, 1972] и Уилкокса - Трейси [Wilcox, Traci, 1976], причем последняя является модификацией более ранней модели Сэффмена - Уилкокса [Saffman, Wilcox, 1974]. Рубезин [Rubesin, 1977] составил сводку основных различий между моде* лями, а Чэмберз и Уилкокс [Chambers, Wilcox, 1976] провели более подробное сравнение моделей. Всюду в них используется модельная форма уравнения для кинетической энергии турбулентности, но представление в них диффузионного члена различно. Но самое удивительное различие состоит в выборе зависимой переменной для второго модельного уравнения переноса, согласно которому определяется масштаб длины.

Рубезин [Rubesin, 1977] сравнил нескГолько моделей для несжимаемой жидкости, и все они работают достаточно хорошо; трудно даже выделить лучшую из них.

Те, кто собирается пользоваться этой моделью, должны прежде всего тщательно изучить литературу по этому вопросу. В нашем же описании модели с двумя уравнениями речь пойдет об основных идеях, лежащих в ее основе, что необходимо для работы с ней. Турбулентная вязкость рассчитывается по формуле (5.149). Для кинетической энергии турбулентности используется уравнение в форме (5.147), в котором последний член интерпретируется как плотность, умноженная на скорость диссипации р8. Чтобы замкнуть систему, добавляется параболическое уравнение переноса для г (здесь оно записано для несжимаемой жидкости):

p=.AfJ£iU£fy f. (5.150)

Dt ду \Рг ду J k \ду J k

Члены в правой части уравнения (5.150) (слева направо) можно интерпретировать как дуффузию, скорость генерации и диссипации е. Типичные значения констант модели приведены в табл. 5.4.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124