Приведенное выше уравнение переноса для е непригодно вблизи стенки, т. е. внутри вязкого подслоя. Ситуация обстоит точно так же, как и в случае уравнения для кинетической энергии турбулентности (5.147). Граничное условие для г на внутренней границе может быть поставлено в той же самой точке ус, что и для k (см. (5.148)). Считают, что в этой точке справедлива гипотеза длины пути смешения Прандтля и

Сак" Са\ШГ / ку

Величина к{ус) может быть найдена из выражения (5.148). В большинстве практических приложений {k - е)-модели для изучения пристенной области используются функции стенки (см. [Launder, Spalding, 1974]. В качестве альтернативы в уравнения (й - е)-модели вводятся дополнительные члены, чтобы распространить область применимости модели на вязкий подслой [Jones, Launder, 1972; Wolfstein, 1969] и др. В связи с этим вязкий подслой часто называют областью малых турбулентных чисел Рейнольдса [(/г)/e/v]. Такой способ моделирования является решающим для сложных турбулентных течений, как, например, для течений с зонами отрыва или сильными изменениями свойств жидкости. Недостаточная точность расчетов в случае сложных турбулентных течений во внутренней части слоя, по-видимому, ограничивает в настоящее время применимость {k - е)-модели (и почти всех других моделей).

Были предложены модификации {k - е)-модели для учета эффектов плавучести и кривизны линий тока в турбулентном течении. Общепринятый способ замыкания для членов с рейнольдсовыми тепловыми потоками при помощи ( - е)-модели использует ту же самую формулировку турбулентного числа Прандтля, которая применялась в алгебраических моделях (5.137).

Несмотря на энтузиазм, который возникал время от времени в отношении моделей с двумя уравнениями, стоит, наверное, еще раз упомянуть два основных недостатка этого типа моделей. Первый заключается в том, что обсужденные здесь модели с двумя уравнениями являются моделями турбулентной вязкости, основанными на гипотезе Буссинеска (5.129). Только в них [хт есть функция более сложного вида, тогда как в алгебраической модели (Lir -локальная функция. Если гипотеза Буссинеска оказывается несправедливой, то даже применение моделей с двумя уравнениями обречено на неудачу. Несомненно, однако, что для инженерных расчетов многих течений гипотеза Буссинеска соответствует реальности с достаточной точностью.

В настоящее время эти модели широко используются скорее как инструмент или предмет в исследованиях турбулентности, нежели как средство решения инженерных задач. Для рейнольдсовых напряжений могут быть получены точные уравнения (задача 5.17). Естественно, в этих уравнениях, имеются члены, которые необходимо моделировать; причем следует помнить, что для турбулентных течений можно вывести уравнение для любой величины, но ни одно из них нельзя решить точно. Такое моделирование, начало которому положили пионерские работы Ротты [Rotta, 1951], требует по меньшей мере трех уравнений, а для течений, в которых нормальные напряжения велики, даже пяти. В одной из последних моделей рейнольдсовых напряжений [Daly, Harlow, 1970] вводится скорость диссипации е и решаются пять уравнений:

4. Р- =

Второй недостаток заключается в необходимости* моделирования разных членов модельных уравнений переноса., особенно членов с тройными корреляциями. Впрочем, этот недостаток присущ всем моделям замыкания более высокого порядка. Эти модели не обладают никакими чудесными свойствами, они только являются отражением большого проникновения в суть дела и интуиции специалистов, их предложивших. Будем, однако, оптимистами: эти модели могут быть усовершенствованы за счет более изощренного моделирования входящих в уравнения членов.

5.4.7. Модели рейнольдсовых напряжений

Модели рейнольдсовых напряжений мы относим к группе моделей II (иногда их называют моделями с уравнением для напряжений), в которых не предполагают, что турбулентные напряжения пропорциональны средней скорости деформации. Например, в случае несжимаемой жидкости это означает, что

ПОМИМО решения обычных уравнений сохранения массы, импульса и энергии. Моделирование членов в правых частях приведенных уравнений требует многочисленных предположений.

Упомянем некоторые модели рейнольдсовых напряжений [Hanialic, Launder, 1972; Daly, Harlow, 1970; Donaldson, 1972], получившие наибольшее распространение к настоящему времени. В работе Лаундера [Launder, 1979] описано состояние дел и перспективы проблемы замыкания для моделей рейнольдсовых напряжений.

В моделях рейнольдсовых напряжений отсутствует ограничение, накладываемое принятием гипотезы Буссинеска о связи турбулентных напряжений со средней скоростью деформации, зато они содержат наибольшее количество уравнений и констант. Поэтому, по-видимому, эти модели имеют больше шансов стать «окончательными» моделями турбулентности, если будет достигнут успех в решении осредненных по времени уравнений Навье -Стокса. Тем не менее в этих моделях все еще необходимо делать допущения при моделировании входящих в состав уравнений членов, которые в настоящее время никак нельзя измерить. Модели рейнольдсовых напряжений находятся еще в стадии разработки, и пройдет еще некоторое время прежде, чем они будут усовершенствованы и проверены настолько, что станут употребляться в инженерных расчетах. Поскольку более простые модели адекватны в отношении многих типов течений, то модели рейнольдсовых напряжений можно применять в инженерных расчетах в тех случаях, когда сложность задачи этого требует. До сих пор модели рейнольдсовых напряжений не проверены экспериментально для многих типов сложных течений.

§ 5.5. Уравнения Эйлера

В 1904 г. Прандтль обнаружил (см. п. 5.3.1), что при достаточно больших числах Рейнольдса влияние вязкости проявляется только в тонком пограничном слое вблизи твердой поверхности. Как следствие этого расчет в невязкой (и нетеплопроводной) области поля течения можно производить независимо от пограничного слоя. Конечно, так поступать правомерно, только если пограничный слой является тонким по сравнению с характерным размером поля течения, так что можно пренебречь взаимодействием между пограничным слоем и невязкой областью. Для течений, когда этого делать нельзя, все же можно раздельно решать системы уравнений в двух этих областях поля течения, но осуществлять это следует путем итераций. Итерационная процедура может оказаться неэффективной с точки зрения вычислений, поэтому следует иногда использовать единую