Здесь V - коэффициент кинематической вязкости. Содержащая частную производную по времени левая часть уравнения описывает ускорение жидкости, а правая часть - тормозящее воздействие вязких напряжений {х = vpdu/dy). Выпишем граничные и начальные условия для уравнения (2.38):

а(0, £/) = 0, u{t,0) = U (t>0), «(/, оо) = 0.

Решение. Решение поставленной задачи описывает поле скорости, возникающее при внезапном приведении пластины в движение со скоростью и. При решении параболических уравнений часто достаточно найти их автомодельное решение [Hansen, 1964]. Для этого надо провести замену переменных, позволяющую понизить число независимых переменных в исходном уравнении [Churchill, 1974]. В рассматриваемой задаче мы хотим свести уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению, перейдя от переменных у, t к переменной г. Пусть

" и 2 Vv< Тогда наша задача сводится к решению уравнения

С граничными условиями /(0)=1, Дсх)) = 0. Интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение, получим

Используя определение функции ошибок

ег!(т1) = -\-Л, (2.40)

перепишем выражение для скорости в виде

u = U[l-erf{y])].

Полученное решение показывает, что толщина слоя жидкости, приведенного в движение пластиной, растет по времени как л/vi. Отсюда следует, что рост толщины слоя определяется только коэффициентом кинематической вязкости v и изменение скорости жидкости в слое обусловлено лишь диффузией скоро-

(1,е) = /(е), -я<е;<я.

сти от пластины к неподвижной жидкости. Итак, рассмотренная задача описывает диффузионный процесс, аналогичный одномерному стационарному процессу распространения тепла.

2.3.3. Эллиптические уравнения в частных производных

Третий тип уравнений в частных производных эллиптический. Рассмотрим основные свойства эллиптических уравнений, которые, как отмечалось выше, описывают стационарные процессы. Если уравнение (2.15) эллиптическое, его дискриминант отрицателен, т. е.

Ь-4ас<0, (2.41)

В этом случае вещественных корней у характеристического уравнения (2.27) нет, а комплексные корни этого уравнения определяются соотношением

. b ±i V4ac -

Итак, оба семейства характеристик эллиптического уравнения комплексные.

Приведем эллиптическое уравнение к канонической форме. Для этого проведем комплексное преобразование координат

y-AiX=:g + /Yi, у~Я2Х = ё-/л (2.42)

и, кроме того, положим, что

ф = фе-1-\ (2.43)

Применив преобразования (2.42) и (2.43) к уравнению (2.15), можно привести его к виду

аналогичному (2.21), но более удобному и простому, так как функция 1 входит в уравнение явно.

Характер зависимости решения эллиптического уравнения в частных производных от граничных условий был рассмотрен в примере 2.1. Чтобы еще раз подчеркнуть это свойство, рассмотрим еще одно эллиптическое уравнение.

Пример 2.8. Найти решение u{r,Q) уравнения Лапласа в круге единичного радиуса

удовлетворяющее граничным условиям ди

где интеграл вычисляется по единичной окружности [Zachma-noglou, Thoe, 1976]. Это можно доказать при помощи теоремы Грина, примененной к единичному кругу. Итак, в рассмотренной задаче граничные условия не могут быть произвольными, а должны удовлетворять специальному интегральному условию.

§ 2.4. Корректно поставленные задачи

В предыдущих разделах мы изучили математические свойства уравнений в частных производных. На ряде примеров было показано, что характер решения этих уравнений определяется заданными граничными и начальными условиями. При изучении гиперболических уравнений в частных производных было показано, что, в случае когда начальные условия заданы на характеристике, нельзя найти единственное решение уравнения. Для эллиптических и параболических уравнений также можно привести примеры неудачных граничных и начальных условий.

Трудность, возникшая при попытке решить гиперболическое уравнение с заданными на характеристике начальными условиями, состоит в ответе на вопрос, корректно ли поставлена рассматриваемая задача. Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий. На возможную неединственность решения уравнений в частных производных указывает пример 2.6. Ада-мар [Hadamard, 1952] построил простой пример, показывающий, что решение не всегда непрерывно зависит от начальных условий.

Решение. Будем искать решение уравнения в виде суммы ряда

и (г. в) = + 2 г" (а„ cos «е + 6„ sin «0).

Значения коэффициентов йп и Ьп можно определить стандартным для йп и Ьп методом [Garabedian, 1964]. Для данного примера выражения для йп и Ьп зависят от граничных условий во всех точках единичного круга. Такая зависимость решения в любой внутренней точке области от условий на всей границе области характерна для всех эллиптических уравнений. Отметим, что единственное решение поставленной задачи существует, если только