5.5.1. Уравнение неразрывности

В уравнении неразрывности отсутствуют члены, связанные с вязкостью или теплопередачей, поэтому приведенные в п. 5.1.1 различные формы этого уравнения нельзя упростить для течения невязкой жидкости. Однако если стационарная форма уравнения неразрывности содержит только два члена в выбранной системе координат, то можно вообще не рассматривать уравнение неразрывности, а ввести в рассмотрение так называемую функцию тока г?. Так можно поступать независимо от того, рассматриваем ли мы течение вязкой жидкости или невязкой. Например, двумерное стационарное уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости, записанное в декартовой системе координат, имеет вид

(p«) + (pt) = 0. (5.151)

Если функцию тока определить как

р„ = 41. р„ = -4, (5.152)

ТО она будет удовлетворять уравнению неразрывности (5.151) и нет необходимости решать уравнение неразрывности, а число зависимых переменных уменьшается до одной. Правда, при такой замене порядок остальных уравнений переменных повышается на единицу. Физический смысл функции тока становится

систему уравнений, справедливую во всем поле течения. Уравнения такого типа будут рассмотрены в гл. 8.

В настоящем параграфе мы обсудим систему уравнений, справедливую только в невязкой части поля течения. Эти уравнения получаются, когда в полных уравнениях Навье - Стокса опускают члены с вязкостью и теплопроводностью. Получающиеся в результате этого уравнения могут быть решены численно (см. гл. 6) с гораздо меньшими затратами машинного времени, чем в случае решения полных уравнений Навье - Стокса. Мы будем называть такие упрощенные уравнения уравнениями Эйлера, хотя, строго говоря, имя Эйлера следовало бы упоминать только в связи с уравнением импульса для течения невязкого газа. В дополнение к допущению о невязком характере течения будем также предполагать, что подвод тепла извне отсутствует, поэтому член dQ/dt в уравнении энергии можно опустить.

дх ду

и функция тока определяется следующим образом:

» = --. " -- Р.155)

Для стационарного осесимметричного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности в цилиндрических координатах (см. п. 5.1.7) выглядит так:

7-(Ф«г) + -(р".) = 0 (6.156)

И функция тока определяется соотношениями

Для трехмерных течений вместо уравнения неразрывности можно ввести две функции тока. Однако сложность такого подхода делает его менее привлекательным по сравнению с подходом, где уравнение неразрывности записано в исходной форме.

5.5.2. Уравнения количества движения для невязкой жидкости

Когда в уравнениях Навье -Стокса (5.18) опускают члены с вязкостью, то получается уравнение

= pf-Vp. (5.158)

Впервые его вывел Эйлер в 1755 г., поэтому оно названо его именем. Если пренебречь массовыми силами и течение считать

очевидным, если учесть

= pV.rfA = rfm. (5.153)

Видно, что линии постоянства г) (rf\f) = 0) суть линии, расход через которые равен нулю: dm = 0. Линию тока мы определяем как линию, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точке. Поэтому в нашем случае линии постоянства \) являются линиями тока и разница значений г? на двух любых линиях тока дает массовый расход через кривую, соединяющую две точки на этих линиях тока (отнесенный к расстоянию между ними).

Для двумерного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности в декартовых координатах записывается как

"+=0 (5.154)

стационарным, то уравнение Эйлера сведется к уравнению

V. VV=--ivp. (5.159)

Его интегрирование вдоль некоторой линии в поле течения дает

J (V . VV). dr = - 5 у Vp . rfr, (5.160)

где dv - дифференциал длины пути вдоль этой линии. В декартовых координатах

dr = dxi + dy} + dzk, (5.161)

Пусть эта линия является линией тока. Тогда V имеет то же направление, что и dr, и мы можем упростить подынтегральное выражение в левой части (5.160):

{W .W).dr = V-dr = V-dr = VdV = d{).

Аналогичным образом упрощается подынтегральное выражение в правой части:

и уравнение (5.160) сводится к уравнению

+S== const. (5.162)

Интеграл в этом выражении можно рассчитать, если течение баротропное. Жидкость является баротропной, если р - функция только от р (или константа), т. е. р = р(р). Назовем примеры баротропных течений:

1. Стационарное течение несжимаемой жидкости

р== const. (5.163)

2. Изэнтропическое (с постоянной энтропией) течение (см. п. 5.5.4)

р = (const) pi/Y. (5.164)

Таким образом, для несжимаемой жидкости интегрирование уравнения Эйлера (5.162) вдоль линии тока дает

р+ 1/2ру2 const. (5.165)

Это соотношение называется уравнением Бернулли, Для изэн-тропического течения сжимаемой жидкости уравнение (5.162)