Если пренебречь массовыми силами и рассматривать стационарное течение, то уравнение (5.171) можно переписать в виде

так как

J р р

сведется к уравнению

. = const, (5.166)

которое называют уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости. Отметим, что уравнения (5.165) и (5.166) справедливы только вдоль выбранной линии тока, поскольку константы этих уравнений изменяются от одной линии тока к другой.

Сейчас мы покажем, что уравнения (5.165) и (5.166) справедливы во всей жидкости, если течение безвихревое. Течение является таковым, если жидкие частицы не вращаются вокруг своих осей. При рассмотрении кинематики поля течения (см., например, [Owczarek, 1964]) завихреннрсть которая определяется в виде

g = VXV, (5.167)

эквивалентна удвоенной угловой скорости вращения жидкой частицы. Таким образом, для безвихревого течения

g = VXV = 0, (5.168)

и поэтому мы можем выразить V через градиент некоторой однозначной функции ф положения точки, так как

VXY = VX(V) = 0. (5.169)

Скаляр ф называется потенциалом скорости. Тогда ускорение жидкой частицы есть

-if = + 4x)-VX;. (5.170,

Это так называемая формула Лагранжа для ускорения. Для безвихревого потока

Dt dt \ 2 И подстановка в уравнение Эйлера дает дУ , „Г 1

и из уравнения (5.33)

РЖ = Ж- (5.180)

Интегрируя уравнение (5.172) вдоль произвольной линии в поле течения, получаем

+5-f--const, (5.173)

причем константа в этом уравнении будет иметь одно и то же значение для всего поля течения, так как уравнение (5.173) интегрировалось вдоль произвольной линии тока. Уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости (5.165) и для сжимаемой жидкости (5.166) непосредственно вытекают из уравнения (5.173) тем же самым способом, как и ранее. Единственное различие состоит в том, что они справедливы всюду в поле течения невязкой жидкости вследствие нашего предположения о безвихревом характере течения.

В случае безвихревого течения невязкой несжимаемой жидкости уравнение неразрывности

V. V = 0 (5.174)

может быть объединено с выражением

V = V, (5.175)

которое приводит к уравнению Лапласа

V = 0. (5.176)

5.5.3. Различные формы записи уравнения энергии для невязкой жидкости

Для невязкой жидкости уравнение энергии (5.22) запишется в виде

-+V.£,V = pf.VV.(pV), (5.177)

что эквивалентно

(рЯ) f V . (рЯУ) = pf . V + 4f. (5.178)

Дополнительные формы уравнения энергии можно получить из уравнения (5.29)

P + p(V.V) = 0 (5.179)

РЯ 1 др Dt Q dt

(5.181)

что для стационарного течения сводится к уравнению

.V-УЯ = 0. (5.182)

Интегрирование этого уравнения вдоль линии тока дает

Я = А + -у- = const, (5.183)

где константа остается одной и той же для всего поля течения в случае изоэнергетического (с постоянной энергией) потока.

Для случая несжимаемой жидкости уравнение (5.179) сводится к уравнению

Ж = (5.184)

ЧТО для стационарного течения означает постоянство внутренней энергии вдоль линии тока.

5.5.4. Дополнительные соотношения

В этом параграфе были приведены уравнения сохранения для невязкой жидкости. Можно вывести дополнительные соотношения, которые оказываются полезными в конкретных приложениях. В некоторых случаях ими даже можно пользоваться вместо одного или более уравнений сохранения. Несколько из этих дополнительных уравнений основаны на первом и втором законах термодинамики. Второй закон дает соотношение

Tds = de + pd{l/9), (5.185)

где 5 - энтропия. Вводя энтальпию h = е + р/р, запишем (5.185) в виде

Tds = dh-dp/p. . (5.186)

Это уравнение можно переписать в виде

поскольку в любой момент времени жидкая частица может менять свое положение относительно соседней жидкой частицы. Комбинируя это уравнение с уравнениями (5.170) и (5.158) и

Если мы воспользуемся уравнением неразрывности, то, пренебрегая массовой силой в уравнении (5.178), можем записать