286 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен пренебрегая массовыми силами, получаем

4L vxe=rv.-v.-v(),

- I/ X ? = УЯ. (5.187)

Уравнение (5.187) известно Как уравнение Крокко. Оно дает связь между завихренностью и энтропией. Для стационарного течения

VX? = VЯГV5. (5.188)

Ранее мы показали, что в случае стационарного адиабатического течения невязкого газа (уравнение (5.182)) имеем У-?Я = 0, что в комбинации с уравнением (5.188) дает V-= О, так как VXS нормально к V. Таким образом, мы доказали, что в случае стационарного адиабатического течения невязкой и нетеплопроводной жидкости энтропия сохраняется вдоль линии тока. Такое течение называется изэнтропическим. Если, кроме того, считать его безвихревым и изоэнергетическим, то из уравнения Крокко следует, что энтропия постоянна всюду во всей области течения.

Уравнение (5.185) связывает между собой термодинамические функции, изменения которых определяются исходными и конечными положениями системы, но не зависят от формы пути, по которым система из исходного состояния переходит в конечное. Для изэнтропического течения совершенного газа можно записать

Tds = 0 = CpdT Rff,

dp у dT

Р Y-1 Т

Последнее уравнение может быть проинтегрировано, что дает

,д,1:г7 = const,

что в свою очередь после подстановки уравнения состояния совершенного газа сводится к соотношению

p/pY = const. (5.189)

Последнее соотношение для изэнтропического течения было использовано ранее для вывода уравнения Бернулли для сжимаемого газа (5.166). Интересно заметить, что проинтегрированное

уравнение энергии (5.183) может быть сведено к (5.166), если течение считать изэнтропическим.

Скорость звука задается выражением

(5.190)

где индекс 5 указывает на то, что процесс происходит при постоянной энтропии. Для совершенного газа уравнение (5.190) дает

5.5.5. Векторная форма уравнений Эйлера

Уравнения Эйлера для сжимаемого газа в отсутствие массовых сил и внешнего тепловыделения могут быть записаны в декартовых координатах

dt дх ~ ду ~ dz где векторы U, Е, F и G задаются выражениями

(5.192)

рг/ pv pw

pv puv pv + р pvw {E, + p)v

pu + P E= puv puw {Ej, + p)u pw puw

G = pvw pw + p {Et + p)w

Для стационарного изоэнергетического течения совершенного газа уравнение энергии можно исключить из этой системы, записанной в векторной форме, и пользоваться его алгебраической формой (5.166). Это уменьшает затраты времени на вычисления, так как приходится решать на одно уравнение в частных производных меньше.

5.5.6. Упрощенные формы уравнений Эйлера "

Делая дополнительные предположения, можно упростить уравнения Эйлера. В случае стационарного безвихревого из-энтропического течения уравнения Эйлера могут быть сведены

К единственному уравнению, называемому уравнением для потенциала скорости, которое можно получить таким образом. Уравнение неразрывности в декартовой системе координат можно записать в виде

-г(Р.) + (Ру) + Ш = о, (5.193)

где компоненты скорости заменяются величинами

Уравнения импульса (и энергии) в предположении, что течение стационарное, изэнтропическое и безвихревое, сводятся к уравнению (5.162). Дифференциальная форма этого уравнения выглядит так:

., = р.() = р.(±4±1). ,5.,95,

Комбинация уравнений (5.190) и (5.195) приводит к уравнению .p = -iL,(i±4±l), (5.,9в,

которое можно использовать для определения производных от р по всем направлениям. После подстановки р;с, ру и в уравнение (5.193) и упрощения получаем для потенциала скорости следующее уравнение:

-- Фху-- Фхг--- Фуг = 0. (5.197)

Заметим, что для несжимаемой жидкости (а-оо) уравнение для потенциала скорости сводится к уравнению Лапласа.

Уравнения Эйлера могут быть упрощены еще в большей степени для случая обтекания тонких тел, размеры которых в поперечном направлении столь малы, что эти тела слабо возмущают набегающий поток. Пример такого типа течения - обтекание тонкого профиля. Анализ такого рода течений выполняется при помощи теории малых возмущений. Чтобы показать, как можно упростить в этом случае уравнение потенциала, считаем, что тонкое тело помещается в двумерный поток. Тело возмущает однородный поток, и компоненты скорости записываются как

и = и + и\ v = v\ (5.198;