Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

где штрих обозначает возмущенную скорость. Пусть далее - возмущение потенциала, тогда

дх -оо+ дх •

дф дф ду ~ ду

(5.199)

Подставляя эти выражения, а также (5.191) в уравнение (5.166), получаем

(5.200)

что в комбинации с уравнением для потенциала дает

du; dv 2 дх

Поскольку возмущения однородного потока являются малыми, то полагаем, что u/Uooy v /Uoo < 1. Тогда уравнение (5.200) упрощается:

a = al-{y-l)uV, (5.202)

И (5.201) принимает вид

- (V + 1) 1 Mi;, + Фу, = 0. (5.203)

Последнее уравнение называется трансзвуковым уравнением малых возмушений. Тип этого уравнения эллиптический или гиперболический в зависимости от того, каким является течение, дозвуковым или сверхзвуковым.

Для течений на до- или сверхзвуковых режимах величина члена М(у+l)(7oo)L мала по сравнению с (1-М) и уравнение (5.203) сводится к линейному уравнению Прандтля- Глауэрта

{-1)Ф:ЛГуу=-0. (5.204)

Зная возмущенную скорость, можно определить коэффициент давления из соотношения

YM \ Poo j оо

р Р - Рос



Решая эти уравнения относительно перепада давления на ударной волне, получаем

Р2 (V+ 1)Р2-(у- 1)Р1 р1 (Y+ 1)р1 - (Y- 0Р2

(5.207)

которое получено из уравнений (5.166), (5.189), (5.198) п на основе теоремы о разложении бинома.

5.5.7. Ударные волны

Ударные волны представляют собой область течения в виде тонкого слоя в сверхзвуковом течении, в котором происходят большие изменения параметров потока. Поскольку эти изменения происходят на очень малом расстоянии, вязкость и теплопроводность оказывают доминирующее влияние на структуру ударной волны. Если, однако, структура ударной волны сама по себе нас не интересует, то можно считать ее бесконечно тонкой (т. с. с математической точки зрения ударная волна это - разрыв параметров потока) и для определения изменения параметров потока при переходе через ударную волну использовать уравнения Эйлера. Рассмотрим, например, стационарную прямую ударную волну, фронт которой перпендикулярен направлению потока. Вектор скорости двумерного течения направлен в положительном направлении оси л:, и параметры потока перед ударной волной будем обозначать индексом 1, а за ударной волной- индексом 2. Поскольку ударная волна есть слабое решение гиперболических уравнений Эйлера, мы можем применить к уравнению (5.192) изложенную в § 4.4 теорию слабых решений. В нашем случае это дает [Е] = 0, Ei = Е2. Таким образом,

Р11=Р22, Pi + 91 = р2 + Р22 Plt,y, =р2Г/У2, {Ей + Pl)Ui = {Eu+ p2)U2.

После простых преобразований находим

Р\Щ = Р22, Pi + Pll = р2 + Р2Ь

У1-=1)>, (5.206)

hi+4 = h2 +



где Vn и Vt - нормальная и тангенциальная компоненты скорости соответственно. Эти уравнения можно применять также к движущимся ударным волнам, если компоненты скорости измерять относительно движущейся ударной волны. В этом случае нормальная компонента скорости потока перед ударной волной (измеренная относительно ударной волны) может быть связана с давлением за ударной волной

Последнее соотношение оказывается полезным в численных расчетах, когда движущиеся ударные волны рассматриваются как разрывы (см. гл. 6).

§ 5.6. Преобразование основных уравнений

В настоящей главе приведены классические уравнения динамики жидкости. Они были записаны либо в векторной, либо в тензорной форме. В п. 5.1.7 было показано, как эти уравнения могут быть записаны в любой ортогональной криволинейной системе координат. Во многих задачах удобнее, однако, пользоваться нсортогональными системами координат. В данном разделе мы покажем, как преобразуется вид уравнений при переходе от декартовой системы координат к неортогональной (или ортогональной) системе координат общего вида. По ходу изложения мы покажем, как можно использовать простые преобразования для сгущения узлов сетки в областях больших градиентов параметров потока (в пограничных слоях) и как преобразовать непрямоугольную расчетную область в физической

Это уравнение, связывающее термодинамические параметры по обе стороны от ударной волны, получило название соотношения Гюгонио - Рэнкина. Термин соотношения Гюгонио - Рэнкина часто применяется ко всем уравнениям, связывающим параметры потока по обе стороны от ударной волны.

Для ударных волн, расположенных под углом к набегающему потоку, т. е. косых ударных волн, изменения параметров потока задаются уравнениями

Pl+Plln. = P2 + p2lL

Vu=-Vu, (5.208)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124