Промышленный лизинг
Методички
где штрих обозначает возмущенную скорость. Пусть далее - возмущение потенциала, тогда дх -оо+ дх • дф дф ду ~ ду (5.199) Подставляя эти выражения, а также (5.191) в уравнение (5.166), получаем (5.200) что в комбинации с уравнением для потенциала дает du; dv 2 дх Поскольку возмущения однородного потока являются малыми, то полагаем, что u/Uooy v /Uoo < 1. Тогда уравнение (5.200) упрощается: a = al-{y-l)uV, (5.202) И (5.201) принимает вид - (V + 1) 1 Mi;, + Фу, = 0. (5.203) Последнее уравнение называется трансзвуковым уравнением малых возмушений. Тип этого уравнения эллиптический или гиперболический в зависимости от того, каким является течение, дозвуковым или сверхзвуковым. Для течений на до- или сверхзвуковых режимах величина члена М(у+l)(7oo)L мала по сравнению с (1-М) и уравнение (5.203) сводится к линейному уравнению Прандтля- Глауэрта {-1)Ф:ЛГуу=-0. (5.204) Зная возмущенную скорость, можно определить коэффициент давления из соотношения YM \ Poo j оо р Р - Рос Решая эти уравнения относительно перепада давления на ударной волне, получаем Р2 (V+ 1)Р2-(у- 1)Р1 р1 (Y+ 1)р1 - (Y- 0Р2 (5.207) которое получено из уравнений (5.166), (5.189), (5.198) п на основе теоремы о разложении бинома. 5.5.7. Ударные волны Ударные волны представляют собой область течения в виде тонкого слоя в сверхзвуковом течении, в котором происходят большие изменения параметров потока. Поскольку эти изменения происходят на очень малом расстоянии, вязкость и теплопроводность оказывают доминирующее влияние на структуру ударной волны. Если, однако, структура ударной волны сама по себе нас не интересует, то можно считать ее бесконечно тонкой (т. с. с математической точки зрения ударная волна это - разрыв параметров потока) и для определения изменения параметров потока при переходе через ударную волну использовать уравнения Эйлера. Рассмотрим, например, стационарную прямую ударную волну, фронт которой перпендикулярен направлению потока. Вектор скорости двумерного течения направлен в положительном направлении оси л:, и параметры потока перед ударной волной будем обозначать индексом 1, а за ударной волной- индексом 2. Поскольку ударная волна есть слабое решение гиперболических уравнений Эйлера, мы можем применить к уравнению (5.192) изложенную в § 4.4 теорию слабых решений. В нашем случае это дает [Е] = 0, Ei = Е2. Таким образом, Р11=Р22, Pi + 91 = р2 + Р22 Plt,y, =р2Г/У2, {Ей + Pl)Ui = {Eu+ p2)U2. После простых преобразований находим Р\Щ = Р22, Pi + Pll = р2 + Р2Ь У1-=1)>, (5.206) hi+4 = h2 + где Vn и Vt - нормальная и тангенциальная компоненты скорости соответственно. Эти уравнения можно применять также к движущимся ударным волнам, если компоненты скорости измерять относительно движущейся ударной волны. В этом случае нормальная компонента скорости потока перед ударной волной (измеренная относительно ударной волны) может быть связана с давлением за ударной волной Последнее соотношение оказывается полезным в численных расчетах, когда движущиеся ударные волны рассматриваются как разрывы (см. гл. 6). § 5.6. Преобразование основных уравнений В настоящей главе приведены классические уравнения динамики жидкости. Они были записаны либо в векторной, либо в тензорной форме. В п. 5.1.7 было показано, как эти уравнения могут быть записаны в любой ортогональной криволинейной системе координат. Во многих задачах удобнее, однако, пользоваться нсортогональными системами координат. В данном разделе мы покажем, как преобразуется вид уравнений при переходе от декартовой системы координат к неортогональной (или ортогональной) системе координат общего вида. По ходу изложения мы покажем, как можно использовать простые преобразования для сгущения узлов сетки в областях больших градиентов параметров потока (в пограничных слоях) и как преобразовать непрямоугольную расчетную область в физической Это уравнение, связывающее термодинамические параметры по обе стороны от ударной волны, получило название соотношения Гюгонио - Рэнкина. Термин соотношения Гюгонио - Рэнкина часто применяется ко всем уравнениям, связывающим параметры потока по обе стороны от ударной волны. Для ударных волн, расположенных под углом к набегающему потоку, т. е. косых ударных волн, изменения параметров потока задаются уравнениями Pl+Plln. = P2 + p2lL Vu=-Vu, (5.208) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 |