ПЛОСКОСТИ к прямоугольной сетке с равномерным размещением узлов в вычислительной плоскости. Эти последние преобразования будут представлены простыми примерами, взятыми из очень важного раздела вычислительной динамики жидкости - методов построения расчетных сеток. Подробно методы построения расчетных сеток будут рассмотрены в гл. 10.

5.6.1. Простые преобразования

В этом разделе простые преобразования переменных применяются для того, чтобы показать, как при этом преобразуется вид уравнений. В качестве первого примера рассмотрим задачу сгущения узлов сетки вблизи стенки. В большинстве случаев

Рис. 5.8. Распределение узлов сетки вблизи стенки, (а) Физическая плоскость (л:, г/); (Ь) вычислительная плоскость (л:, г/).

измельчение сетки совершенно необходимо для разрешения деталей течения в пограничном слое. На рис. 5.8(a) показана сетка для расчета течения на плоской пластине с однородным размещением узлов по направлению л: и со сгущением узлов по направлению у по мере приближения к стенке. Так как шаг сетки по направлению у неравномерный, то удобно преобразовать координату у так, чтобы уравнения можно было решать на равномерной сетке в вычислительной плоскости {х,у), как показано на рис. 5.8(b). Подходящим для такой двумерной погранслой-ной задачи является преобразование 1.

Преобразование 1 х = х,

- . In W + \-(y/h)]/[fi-\ + {y/h)]} У- 1п[(р-Ь1)/(Р~1)1

1<Р<оо.

(5.210)

дх дх дх дх ду ду ду дх ду ду

дх дх »

ду - ду Л{Р-[1-(/М)П1п[(Р-М)/(р~-1)1 •

В результате выражения для частных производных упрош .ются:

д д

ду \ду ) ду

Если сейчас применить это преобразование к стационарному двумерному уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, записанному в декартовых координатах

"+1 = 0, (5.213)

дх ду

ТО преобразованное уравнение будет выглядеть так:

tH(f)t=«-

Это уравнение можно дискретизировать на равномерной сетке в вычислительной плоскости. Шаги сетки равны

-1 У-Ж=Т (5.215)

где N1 и iV/ -число узлов сетки в направлениях х w у соответственно. Заметим, что в выражении для метрического коэффициента ду/ду содержится у, поэтому мы должны уметь выражать у как функцию у. Это называют обратным преобразованием. В нашем примере обратное преобразование легко находится в виде

х = х,

1 (Р + 1) - (Р - 1) ([(Р + - 1)]-} (5.216)

[(Р+1)/(Р-1)1- + 1

Это преобразование растяжения размещает тем большее число точек вблизи у =0, чем ближе параметр р к 1.

Чтобы применить это преобразование к уравнениям динамики жидкости, выпишем следующие частные производные:

д дх д , ду д

Обсуждаемое здесь преобразование растяжения принадлежит к более общему семейству преобразований растяжения [Roberts, 1971]. Другое преобразование этого семейства измель-

/уУ/

In ({р + \Ц (2а -f \Ш - 2а}/{р ~ \ц (2а + ХЩ -f 2а)) In [(Р+1)/(Р~1)1

Рис. 5.9. Распределение узлов расчетной сетки в канале, (а) Физическая плоскость (х, г/); (Ь) вычислительная плоскость (р).

чает сетку у стенок канала (рис. 5.9). Оно обозначается как преобразование 2.

Преобразование 2 х = х,

у = а + (1 - а)-

(5.217)

Если а = О, то сетка будет измельчаться только вблизи y = h, тогда как если а = 1/2, то сетка будет измельчаться как вблизи г/ = 0, так и вблизи у == h. Гобертс показал, что параметр растяжения р приближенно связан с безразмерной толщиной пограничного слоя б/Л следующим образом:

р==(1 б/Л)", 0<б г<1, (5.218)

где Л -размер сетки в направлении у. Величина растяжения для разных значений 8/h показана на рис. 5.10 для случая а=0. Для преобразования, задаваемого уравнением (5.217), метрика ду/ду есть

ду 2р(1 - а) (2а-f 1)

Т- /1{р2-[,,(2а-Ь1)/Л~-2аП1п[(р-Ь1)/(р-1)1

(5.219)

а обратное преобразование выражается в виде

X == X

.(р + 2а) КР + 1)/(Р - l)](g-«>/<-«)- р + 2а (5.220) У « (2а+1){1+1(р+1)/(р-1)р-°""-°} •