0.0 0.1 О.г 0.3 ОЛ 0.5 О.В 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис. 5.10. Преобразование растяжения (а = 0), предложенное Робертсом.

«1

Рис. 5.11. Распределение узлов расчетной сетки со сгущением внутри области, (а) Физическая плоскость (х,у)\ (Ь) вычислительная плоскость (х,у).

Полезным будет преобразование для измельчения сетки вблизи внутренней границы (рис. 5.11).

Преобразование 3

х = х,

p = B + J-arsh[(-l)sh(tB)]. (5.221)

В = ~1п

2т Ц + (е--1)(ус/А) J•

0<т< оо.

Здесь параметр растяжения т изменяется от нуля (нет растяжения) до больших значений, которые производят измельчение

Рис. 5.12. Получение прямоугольной расчетной сетки, (а) Физическая плоскость (х,у)\ (Ь) вычислительная плоскость (Хуу),

вблизи у = Ус- Метрики ду/ду и у суть ду sh (хВ)

xyc/l + l(y/Уc)-\VshЦxB)

sh (хВ)

(5.222) (5.223)

В качестве последнего примера рассмотрим простое преобразование, которое переводит непрямоугольную область в физической плоскости в прямоугольную область в вычислительной плоскости, как показано на рис. 5.12. Оно обозначается преобразованием 4.

Преобразование 4

х = х, y = y/h{x).

(5.224)

дх У h(x) ду

г. *

д I д (5.225)

dy - h (X) ду

rjxe h{x)= dh{x)/dx. Отсюда двумерное стационарное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости, записанное в декартовых координатах, преобразуется к виду

ifL ,v ifi 4- - О Г5 226

W yTWTW h(x) ду (•

5.6.2. Преобразование общего вида

Выше мы рассмотрели простые преобразования независимых переменных, которые позволяют решать задачу на равномерной сетке. Рассмотрим теперь преобразование общего вида

1 = 1{ху у у z),

г] = г]{х, у, г), (5.227) g = g(:, у, г),

которое отображает физическую плоскость (л:, у, z) на вычислительную плоскость (I, Г1, ). По правилу дифференцирования сложной функции имеем

д

дх dl дц " dZ

= . + Л. + ?.-, (5.228)

Возникающие в этих выражениях метрические коэффициенты

1л:, Цх, 1х, 1у, У]у, 1у, Iz, Цг, ?г МОГуТ быТЬ НаЙДбНЫ СЛбДуЮЩИМ Об-

разом. Запишем сначала выражения для дифференциалов

dr] = r\xdx-{-Tt\ydy + r\dz, (5.229)

dl = Z,dx + lydy + ldz,

Расстояние между нижней и верхней границами, измеряемое вдоль линии л: = const, обозначено через h{x). Необходимые частные производные записываются в виде

д - hjx) д